■ 286. Два велосипедиста движутся в противоположных направ- лениях по кольцевой дороге со скоростями, модули которых оди- наковы. О пределите время между двумя последовательными встре чами велосипедистов, если период обращения одного из них T_{1} = 6, 0 мин, другого - T_{2} = 9, 0 мин.

Для решения задачи о велосипедистах, движущихся по кольцевой дороге, начнем с определения частоты их движения. Частота (ν) определяется как обратная величина периода обращения (T).

Для первого велосипедиста: \[ \nu_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{6 \, \text{мин}} = \frac{1}{6} \, \text{об/мин} \]

Для второго велосипедиста: \[ \nu_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{9 \, \text{мин}} = \frac{1}{9} \, \text{об/мин} \]

Когда велосипедисты движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость равна сумме их скоростей. Поскольку скорости одинаковы по модулю, мы можем выразить их взаимное движение следующим образом: \[ \nu_{\text{отн}} = \nu_1 + \nu_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель: Наименьшее общее кратное для 6 и 9 – это 18. Перепишем дроби: \[ \nu_1 = \frac{3}{18}, \quad \nu_2 = \frac{2}{18} \]

Теперь сложим: \[ \nu_{\text{отн}} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18} \, \text{об/мин} \]

Теперь, чтобы найти время между двумя последовательными встречами, нам нужно определить период обращения по их относительной скорости: Период обращения (T_{\text{встречи}}) будет равен обратной частоте относительного движения: \[ T_{\text{встречи}} = \frac{1}{\nu_{\text{отн}}} = \frac{1}{\frac{5}{18}} = \frac{18}{5} \, \text{мин} \]

Теперь преобразуем это значение в минуты: \[ T_{\text{встречи}} = 3.6 \, \text{мин} \]

Таким образом, время между двумя последовательными встречами велосипедистов составляет 3.6 минуты.