На берегу реки расположена деревня. В 35   35 км от неё ниже по течению находится город. Ребята отправились из деревни в город на плоту. Через час после этого из города навстречу им вышел катер, собственная скорость которого составляет 8   8 км/ч. Найдите, через сколько часов после отплытия из деревни мальчики встретились с катером, если скорость течения реки равна 3   3 км/ч.

Давайте обозначим скорость плота через реку как \( v_p \). Скорость плота относительно берега равна \( v_p + v_t \), где \( v_t = 3 \) км/ч — скорость течения реки.

Пусть время в часах, через которое встретятся плот и катер, обозначим как \( t \). Тогда до встречи с катером пройдет \( t + 1 \) часов, так как катер вышел через 1 час после начала движения плота.

Сначала найдем расстояние, которое прошел плот за время \( t + 1 \): \[ d_{плота} = (v_p + 3) \cdot (t + 1) \]

Катер, который начал движение через 1 час после плота, пройдет за \( t \) часов расстояние: \[ d_{катера} = 8t \]

На момент встречи расстояние между деревней и городом остается прежним, равным 35 км. Поэтому, в момент встречи справедливо равенство: \[ d_{плота} + d_{катера} = 35 \]

Подставим полученные выражения: \[ (v_p + 3)(t + 1) + 8t = 35 \]

Теперь нужно выразить скорость плота. Если мы знаем, что плот движется вниз по течению, его скорость относительно земли — это \( v_p + v_t \).

Допустим, скорость плота \( v_p \) относительно воды равна \( x \). Тогда: \[ d_{плота} = (x + 3)(t + 1) \] и \[ d_{катера} = 8t \]

Подставим \( x + 3 \) в уравнение: \((x + 3)(t + 1) + 8t = 35\)

Однако мы не знаем \( x \). Если учесть, что мы не введем конкретные значения и примем \( x = 0 \) (для упрощения расчетов): \[ (0 + 3)(t + 1) + 8t = 35 \] \[ 3(t + 1) + 8t = 35 \] \[ 3t + 3 + 8t = 35 \] \[ 11t + 3 = 35 \] \[ 11t = 32 \] \[ t \approx \frac{32}{11} \approx 2.91 \text{ часа} \]

Таким образом, мальчики встретятся с катером примерно через 2.91 часа после отплытия из деревни.