У квадратного трёхчлена x2+px+q два различных корня: p и q . Найдите p3+q3 .
Чтобы найти значение \( p^3 + q^3 \) для квадратного трехчлена \( x^2 + px + q \), где \( p \) и \( q \) являются его корнями, можно воспользоваться формулой разности кубов.
Сначала напомним, что если \( p \) и \( q \) – корни уравнения, то по теореме Виета мы знаем, что:
- Сумма корней: \( p + q = -b = -p \).
- Произведение корней: \( pq = c = q \).
Теперь мы можем воспользоваться формулой для суммы кубов:
\[ p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2) \]
Мы уже знаем \( p + q = -p \). Теперь вычислим \( p^2 - pq + q^2 \).
- Выразим \( p^2 + q^2 \) через \( p + q \) и \( pq \): \[ p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q \]
- Теперь подставим это в наше выражение: \[ p^2 - pq + q^2 = p^2 + q^2 - pq = (p^2 - 2q) - q = p^2 - 3q \]
Таким образом, мы можем записать \( p^3 + q^3 \) как:
\[ p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2) = (-p)(p^2 - 3q) \]
Теперь подставим \( p + q \) и упрощаем окончательно:
\[ p^3 + q^3 = -p(p^2 - 3q) \]
Если нужно получить конкретное значение, подставьте известные \( p \) и \( q \), и вы получите результат. Если у вас есть конкретные значения \( p \) и \( q \), дайте знать, и я помогу с расчетами!
