Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.

Для начала, давайте разберем, как изменяется импульс материальной точки, движущейся по окружности. Импульс (\( \vec{p} \)) определяется как произведение массы тела (\( m \)) на его скорость (\( \vec{v} \)):

\[ \vec{p} = m \cdot \vec{v} \]

В данном случае масса \( m = 1 \, \text{кг} \), а скорость \( v = 10 \, \text{м/с} \). Так как точка движется равномерно по окружности, её скорость всегда направлена касательно окружности и изменяется только направление, но не модуль.

1. Изменение импульса за одну четверть периода

Импульс в начале четверти периода (\( t_1 \)) можно записать как:

\[ \vec{p_1} = m \cdot \vec{v_1} = 1 \, \text{кг} \cdot (10 \, \text{м/с}) = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

В конце этой четверти периода (\( t_2 \)) скорость будет направлена под углом 90 градусов к первоначальной:

\[ \vec{p_2} = m \cdot \vec{v_2} = 1 \, \text{кг} \cdot (10 \, \text{м/с}) = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Чтобы найти изменение импульса (\( \Delta \vec{p} \)), необходимо рассмотреть векторы \( \vec{p_1} \) и \( \vec{p_2} \):

\[ \Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1} \]

Так как эти импульсы направлены перпендикулярно друг другу, легко воспользоваться теорией векторов. Давайте ислользуем метод параллелограмма или прямоугольного треугольника:

\[ |\Delta \vec{p}| = \sqrt{(10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с})^2 + (10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с})^2} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

2. Изменение импульса за половину периода

При движении на половину периода (180 градусов) пластинка вернется в противоположную точку окружности. Импульс в этой точке:

\[ \vec{p_2} = -10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Таким образом, изменение импульса будет:

\[ \Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = -10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = -20 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

3. Изменение импульса за целый период

За один полный период (360 градусов) тело вернется в начальную точку. В таком случае:

\[ \Delta \vec{p} = \vec{p_1} - \vec{p_1} = 0 \]

Таким образом, изменение импульса за целый период равно нулю, так как начальные и конечные импульсы совпадают.

Резюме:

• Изменение импульса за одну четверть периода: приблизительно \( 14.14 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).
• Изменение импульса за половину периода: \( -20 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).
• Изменение импульса за полный период: \( 0 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).