Тело массы m=10 кг начинает скользить без трения с некоторой начальной высоты H=3R и совершает мёртвую петлю радиуса R. Трения нет. Чему равна сила реакции опоры в верхней точке траектории

Для того чтобы найти силу реакции опоры в верхней точке мёртвой петли, необходимо использовать законы динамики и знаний о потенциале и кинетической энергии.

1. Определение начальных условий:

   • Масса тела \( m = 10 \, \text{кг} \).
   • Начальная высота \( H = 3R \), где \( R \) — радиус мёртвой петли.

2. Энергия в начале: Начальная потенциальная энергия \( E_p \) тела на высоте \( H \) равна: \[ E_p = mgh = mg \cdot 3R, \] где \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).

3. Состояние в верхней точке петли: На высоте \( 2R \) (так как радиус мёртвой петли \( R \) и тело находится на высоте \( 2R\) от основания):

   • Потенциальная энергия \( E_p^{\text{верх}} = mg \cdot 2R \).
   • Кинетическая энергия \( E_k \) в верхней точке будет равна разности начальной потенциальной энергии и потенциальной энергии в верхней точке: \[ E_k = E_p - E_p^{\text{верх}} = mg \cdot 3R - mg \cdot 2R = mgR. \]

4. Скорость в верхней точке: Используя закон сохранения энергии, можем выразить кинетическую энергию через скорость \( v \): \[ E_k = \frac{mv^2}{2} \implies mgR = \frac{mv^2}{2} \implies v^2 = 2gR. \]

5. Сила реакции опоры: В верхней точке тела действуют две силы: сила тяжести \( mg \) и сила реакции опоры \( N \). Для обеспечения кругового движения необходимо, чтобы центростремительное ускорение равнялось ускорению свободного падения по следующим законам: \[ N + mg = \frac{mv^2}{R}. \] Подставив выражение для \( v^2 \): \[ N + mg = \frac{m(2gR)}{R} \implies N + mg = 2mg. \] Отсюда мы можем выразить силу реакции опоры: \[ N = 2mg - mg = mg. \]

6. Подсчет численных значений: Подставляя массу \( m = 10 \, \text{кг} \): \[ N = mg = 10 \times 9.81 = 98.1 \, \text{Н}. \]

Таким образом, сила реакции опоры в верхней точке траектории равна примерно \( 98.1 \, \text{Н} \).