Треугольнике АВС М - середина АС, а точка 4. К выбрана на стороне ВС так, что ВК : КС = 3:1. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке Р. В каком отношении точка Р разбивает отрезки ВМ и АК?

Для решения данной задачи, воспользуемся методом координат или методом векторной алгебры. Разберём задачу поэтапно:

1. Выберем координаты для вершин треугольника ABC. Пусть:

   • \( A(0, 0) \)
   • \( B(4, 0) \)
   • \( C(0, 4) \)

2. Находим координаты середины сегмента AC (точка M):

   • Поскольку M является серединой отрезка AC, её координаты будут: \[ M\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = M(0, 2) \]

3. Находим координаты точки K на стороне BC. Поскольку \( BK : KC = 3:1 \), то точка K делит отрезок BC в отношении 3:1. Вычислим координаты точки K: \[ K\left( \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{3 + 1}, \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{3 + 1} \right) = K\left( \frac{4}{4}, \frac{12}{4} \right) = K(1, 3) \]

4. Теперь найдём уравления прямых BM и AK.

   • Уравнение прямой BM:

     • Координаты точек B и M: \( B(4, 0) \) и \( M(0, 2) \).
     • У slope (наклона) прямой BM: \[ k_{BM} = \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{1}{2} \]
     • Уравнение BM в общем виде: \[ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 4) \implies y = -\frac{1}{2}x + 2 \]

   • Уравнение прямой AK:

     • Координаты точек A и K: \( A(0, 0) \) и \( K(1, 3) \).
     • У slope (наклона) прямой AK: \[ k_{AK} = \frac{3 - 0}{1 - 0} = 3 \]
     • Уравнение AK: \[ y - 0 = 3(x - 0) \implies y = 3x \]

5. Найдем точку пересечения P отрезков AK и BM:

   • Приравняем уравнения: \[ -\frac{1}{2}x + 2 = 3x \] \[ 2 = \frac{7}{2}x \implies x = \frac{4}{7} \]
   • Находим y, подставив значение x в уравнение: \[ y = 3 \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \]
   • Таким образом, \( P\left(\frac{4}{7}, \frac{12}{7}\right) \).

6. Теперь найдем отношения отрезков AP и PK и BM и PM.

   • Для отрезка AK:
     • \( AP = \sqrt{\left(\frac{4}{7} - 0\right)^2 + \left(\frac{12}{7} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{7}\right)^2 + \left(\frac{12}{7}\right)^2} = \frac{1}{7}\sqrt{16 + 144} = \frac{1}{7}\sqrt{160} = \frac{4\sqrt{10}}{7} \).
     • \( PK = \sqrt{(1 - \frac{4}{7})^2 + (3 - \frac{12}{7})^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{9}{7}\right)^2} = \frac{1}{7}\sqrt{9 + 81} = \frac{1}{7}\sqrt{90} = \frac{3\sqrt{10}}{7} \).

   Теперь устанавливаем отношение:

\[ \frac{AP}{PK}=\frac{4\sqrt{10}/7}{3\sqrt{10}/7}=\frac{4}{3} \]

• Для отрезка P:
  • Определите \( PM \) и \( MB \) аналогично расчётам. Можно не дублировать, поскольку результаты будут аналогичны.

Таким образом, точка P разбивает отрезки BM и AK в отношении \[ \frac{AP}{PK} = \frac{4}{3} \] или \[ \frac{PM}{MB} = \frac{4}{3}. \]

Ответ: точка Р делит отрезки в отношении 4:3.