Высота параллелограмма равна 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

Сначала давайте определим, что обозначает высота параллелограмма. Параллелограмм имеет две основные высоты, которые соответствуют его основаниям. Если высота равна 5 см, то это одна из высот, а 4 см – это другая высота, и, соответственно, у нас есть два основания.

Периметр параллелограмма можно выразить как:

\[ P = 2(a + b) \]

где \(a\) и \(b\) – длины сторон параллелограмма. Из условия следует, что периметр равен 42 см:

\[ 2(a + b) = 42 \implies a + b = 21. \]

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

\[ S = a \cdot h, \]

где \(S\) – площадь, \(a\) – длина основания, а \(h\) – высота, соответствующая этому основанию.

Рассмотрим две высоты:

1. Если 5 см – это высота, соответствующая основанию \(a\), тогда: \[ S = a \cdot 5. \]

2. Если 4 см – это высота, соответствующая основанию \(b\), тогда: \[ S = b \cdot 4. \]

Воспользуемся равенствами для \(S\):

\[ S = a \cdot 5 = b \cdot 4. \]

Теперь выразим \(b\) через \(a\):

\[ b = 21 - a. \]

Подставим это значение в уравнение для площади:

\[ 5a = 4(21 - a). \]

Раскроем скобки:

\[ 5a = 84 - 4a. \]

Теперь соберем подобные слагаемые:

\[ 5a + 4a = 84 \implies 9a = 84 \implies a = \frac{84}{9} \approx 9.33 \text{ см}. \]

Теперь найдем \(b\):

\[ b = 21 - a = 21 - \frac{84}{9} = \frac{189 - 84}{9} = \frac{105}{9} \approx 11.67 \text{ см}. \]

Теперь у нас есть значения \(a\) и \(b\). Найдем площадь параллелограмма:

Используем \(a\) и высоту 5 см:

\[ S = a \cdot 5 = \frac{84}{9} \cdot 5 = \frac{420}{9} \approx 46.67 \text{ см}^2. \]

Либо можем использовать \(b\) и высоту 4 см:

\[ S = b \cdot 4 = \frac{105}{9} \cdot 4 = \frac{420}{9} \approx 46.67 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна приблизительно \( \frac{420}{9} \) см² или 46.67 см².