3. 20% автомобильных аккумуляторов изготавливают на заводе в городе Ю. Остальные на заводе в г. Д. В городе Ю. в среднем случается 7,5 % брака, а в городе Д. в среднем 2,5% брака. а) Найдите вероятность того, что случайный аккумулятор в магазине окажется бракованным. б) Известно, что покупатель Чернов приобрел бракованный аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Ю.? Результат округлите до тысячных. в) Известно, что покупатель Серов приобрел хороший аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Д.? Результат округлите до тысячных.
Давайте разберёмся с задачей, шаг за шагом.
А) Найдите вероятность того, что случайный аккумулятор в магазине окажется бракованным.
Обозначим:
- P(Ю) – вероятность того, что аккумулятор изготовлен в Ю = 0,2 (20%)
- P(Д) – вероятность того, что аккумулятор изготовлен в Д = 0,8 (80%)
- P(Б|Ю) – вероятность того, что аккумулятор бракованный, если он сделан в Ю = 0,075 (7,5%)
- P(Б|Д) – вероятность того, что аккумулятор бракованный, если он сделан в Д = 0,025 (2,5%)
Для нахождения общей вероятности бракованного аккумулятора (P(Б)) используем формулу полной вероятности: \[ P(Б) = P(Б|Ю) \cdot P(Ю) + P(Б|Д) \cdot P(Д) \]
Подставляем значения: \[ P(Б) = 0,075 \cdot 0,2 + 0,025 \cdot 0,8 \] \[ P(Б) = 0,015 + 0,02 = 0,035 \]
Таким образом, вероятность того, что случайный аккумулятор окажется бракованным, равна 0,035 или 3,5%.
Б) Известно, что покупатель Чернов приобрёл бракованный аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Ю?
Для этого используем теорему Байеса: \[ P(Ю|Б) = \frac{P(Б|Ю) \cdot P(Ю)}{P(Б)} \]
Подставим значения: \[ P(Ю|Б) = \frac{0,075 \cdot 0,2}{0,035} \] \[ P(Ю|Б) = \frac{0,015}{0,035} \approx 0,42857 \]
Таким образом, вероятность того, что бракованный аккумулятор был изготовлен в Ю, примерно равна 0,429 (округляя до тысячных).
В) Известно, что покупатель Серов приобрёл хороший аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Д?
Сначала найдем вероятность хорошего аккумулятора: \[ P(Х|Д) = 1 - P(Б|Д) = 1 - 0,025 = 0,975 \] \[ P(Х|Ю) = 1 - P(Б|Ю) = 1 - 0,075 = 0,925 \]
Теперь находим вероятность хорошего аккумулятора: \[ P(Х) = P(Х|Ю) \cdot P(Ю) + P(Х|Д) \cdot P(Д) \] \[ P(Х) = 0,925 \cdot 0,2 + 0,975 \cdot 0,8 \] \[ P(Х) = 0,185 + 0,78 = 0,965 \]
Теперь используем теорему Байеса для нахождения вероятности: \[ P(Д|Х) = \frac{P(Х|Д) \cdot P(Д)}{P(Х)} \]
Подставляем значения: \[ P(Д|Х) = \frac{0,975 \cdot 0,8}{0,965} \] \[ P(Д|Х) = \frac{0,78}{0,965} \approx 0,809 \]
Таким образом, вероятность того, что хороший аккумулятор был изготовлен в Д, примерно равна 0,809 (округляя до тысячных).
Таким образом, вы получили решения для всех трех частей задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то ещё уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
