Никита массой 70 кг прыгает с вышки высотой 3 м на батут жёсткостью 2500 Н/м. На сколько сантиметров прогибается батут, когда Никита приземляется на него?
Чтобы решить задачу, сначала определим потенциальную энергию Никиты в момент, когда он прыгает с вышки. Потенциальная энергия \(E_p\) на высоте \(h\) рассчитывается по формуле:
\[ E_p = m \cdot g \cdot h, \]
где:
- \(m = 70 \, \text{кг}\) — масса Никиты,
- \(g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2\) — ускорение свободного падения,
- \(h = 3 \, \text{м}\) — высота вышки.
Теперь подставим значения:
\[ E_p = 70 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 3 \, \text{м} = 2055.3 \, \text{Дж}. \]
Теперь, когда Никита приземляется на батут, эта потенциальная энергия превращается в деформацию стержня, то есть в упругую энергию батутов, которую можно выразить как:
\[ E_u = \frac{1}{2} k x^2, \]
где:
- \(k = 2500 \, \text{Н/м}\) — жёсткость батута,
- \(x\) — прогиб батута в метрах.
Сравнив потенциальную энергию и упругую энергию, мы получаем:
\[ 2055.3 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot 2500 \, \text{Н/м} \cdot x^2. \]
Упростим уравнение:
\[ 2055.3 = 1250 \cdot x^2. \]
Теперь решим для \(x^2\):
\[ x^2 = \frac{2055.3}{1250} \approx 1.64424. \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x \approx \sqrt{1.64424} \approx 1.28 \, \text{м}. \]
Таким образом, прогиб батута составляет около \(1.28 \, \text{м}\), что равно:
\[ 1.28 \, \text{м} \times 100 = 128 \, \text{см}. \]
Ответ: Батут прогибается примерно на 128 сантиметров.
