х³-2х²-3х+6/х³-8

Для упрощения дроби \(\frac{x^3 - 2x^2 - 3x + 6}{x^3 - 8}\) давайте рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6\)

Чтобы упростить числитель, можно попробовать разложить его на множители. Мы можем использовать метод деления многочлена на линейный фактор или же посмотреть, можем ли мы получить корни для многочлена с помощью подбора.

После подбора, если мы подставим \(x = 3\):

\[3^3 - 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 6 = 27 - 18 - 9 + 6 = 6 \neq 0\]

Смотрим \(x = 2\):

\[2^3 - 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 6 = 8 - 8 - 6 + 6 = 0\]

Таким образом, \(x = 2\) является корнем. Это значит, что \((x - 2)\) - это множитель. Теперь мы можем разложить многочлен, используя деление многочлена:

Делим \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6\) на \(x - 2\) и получаем:

\[x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x - 2)(x^2 + 0x - 3) = (x - 2)(x^2 - 3)\]

Знаменатель: \(x^3 - 8\)

Знаменатель представляет собой разность кубов и раскладывается по формуле:

\[x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\]

Теперь подставим разложенные множители обратно в дробь:

\[\frac{(x - 2)(x^2 - 3)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}\]

Мы можем сократить \((x - 2)\), при условии, что \(x \neq 2\):

\[\frac{x^2 - 3}{x^2 + 2x + 4}\]

Таким образом, конечный ответ будет:

\[\frac{x^2 - 3}{x^2 + 2x + 4}, \quad x \neq 2\]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим задачам, не стесняйтесь их задавать!