На подставке лежит тело массой 0,2 кг, подвешенное к потолку с помощью пружины. Вначале пружина не растянута. Подставку начинают опускать с ускорением 2,0 м/с2 . Через 0,2 с тело отрывается от подставки. Найти жѐсткость пружины.
Для решения этой задачи давайте разобьем её на несколько шагов.
Определим силы, действующие на тело. Когда подставка опускается с ускорением \( a = 2,0 \, \text{м/с}^2 \), на тело действуют две силы:
- сила тяжести \( F_g = mg \), где \( m = 0,2 \, \text{кг} \) и \( g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 \),
- сила упругости пружины \( F_k = kx \), где \( k \) — жѐсткость пружины, а \( x \) — растяжение пружины.
Таким образом, сила тяжести будет: \[ F_g = 0,2 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 1,96 \, \text{Н}. \]
Когда подставка опускается с ускорением, на тело действует равнодействующая сила, которая равна разности между силой тяжести и силой упругости: \[ F = F_g - F_k = mg - kx. \] Так как подставка опускается с ускорением, имеем: \[ F = ma = m \cdot 2,0 \, \text{м/с}^2. \]
При отрыве тела от подставки (через \( 0,2 \, \text{s} \)), сумма сил будет равна нулю, так как тело перестает быть под воздействием пружины. Подставляя всё в уравнение, получаем: \[ mg - kx = ma. \]
Теперь выразим жѐсткость пружины \( k \). Нам нужно знать растяжение \( x \). Для этого можно использовать уравнение движения. На момент отрыва тело продолжает двигаться с ускорением \( a \) в течение времени \( t = 0,2 \, \text{s} \): \[ x = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2,0 \cdot (0,2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2,0 \cdot 0,04 = 0,04 \, \text{м}. \]
Теперь подставим \( x = 0,04 \, \text{м} \) в уравнение силы: \[ 0,2 \cdot 9,8 - k \cdot 0,04 = 0,2 \cdot 2,0. \]
Это можно упростить: \[ 1,96 - 0,04k = 0,4. \]
Решим это уравнение для \( k \): \[ 1,96 - 0,4 = 0,04k, \] \[ 1,56 = 0,04k, \] \[ k = \frac{1,56}{0,04} = 39,0 \, \text{Н/м}. \]
Таким образом, жѐсткость пружины составляет \( k \approx 39,0 \, \text{Н/м} \).
