1/(х-1)^2 + 3/(х-1) -10=0. решите уравнение введением новой переменной
Давайте решим уравнение \( \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{(x-1)} - 10 = 0 \) с помощью введения новой переменной.
Вводим новую переменную. Пусть \( y = \frac{1}{x-1} \). Тогда \( \frac{1}{(x-1)^2} = y^2 \). Подставляем эти выражения в уравнение:
\[ y^2 + 3y - 10 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение. Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \( ay^2 + by + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = 3 \), и \( c = -10 \).
Для решения квадратного уравнения используем формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]
Это дает нам два решения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Возвращаемся к переменной \( x \). Напомним, что \( y = \frac{1}{x-1} \). Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):
Для \( y_1 = 2 \): \[ 2 = \frac{1}{x-1} \Rightarrow x-1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Для \( y_2 = -5 \): \[ -5 = \frac{1}{x-1} \Rightarrow x-1 = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]
Записываем ответы. Таким образом, у нас есть два решения для исходного уравнения:
\[ x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{4}{5} \]
Если у вас будут еще вопросы или потребуется дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!
