Найдите область определения функции. y=arcsin 3-x/4

Чтобы найти область определения функции \( y = \arcsin\left(\frac{3 - x}{4}\right) \), необходимо учитывать, что функция arcsin определена только для значений от \(-1\) до \(1\) включительно. Это значит, что аргумент \(\frac{3 - x}{4}\) должен находиться в этом диапазоне.

Мы можем записать это неравенство:

\[ -1 \leq \frac{3 - x}{4} \leq 1 \]

Теперь решим его по частям.

1. Решим первое неравенство: \[ -1 \leq \frac{3 - x}{4} \] Умножим обе стороны на 4 (так как 4 положительное, знак неравенства не изменится): \[ -4 \leq 3 - x \] Переносим \(3\) влево: \[ -4 - 3 \leq -x \] Или, проще: \[ -7 \leq -x \] Умножив на \(-1\) и поменяв знак неравенства, получаем: \[ x \leq 7 \]

2. Решим второе неравенство: \[ \frac{3 - x}{4} \leq 1 \] Умножаем обе стороны на 4: \[ 3 - x \leq 4 \] Перемещаем \(3\) влево: \[ -x \leq 4 - 3 \] Таким образом: \[ -x \leq 1 \] Умножив на \(-1\) и поменяв знак неравенства, получаем: \[ x \geq -1 \]

Собрав все условия вместе, мы получаем, что область определения функции \( y = \arcsin\left(\frac{3 - x}{4}\right) \) составляет:

\[ -1 \leq x \leq 7 \]

Таким образом, область определения функции — это отрезок \([-1, 7]\).