решите уравнение через дискриминант 6/х²-9 + 2/х²+4х = 7/(х+4)(х-3);
Давайте решим уравнение
\[ \frac{6}{x^2 - 9} + \frac{2}{x^2 + 4x} = \frac{7}{(x + 4)(x - 3)}. \]
Сначала упростим данное уравнение. Обратите внимание, что \(x^2 - 9\) можно разложить на множители как \((x - 3)(x + 3)\), а \(x^2 + 4x\) можно преобразовать в \(x(x + 4)\).
Перепишем уравнение, заменив выражения:
\[ \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{2}{x(x + 4)} = \frac{7}{(x + 4)(x - 3)}. \]
Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Общим знаменателем будет \((x - 3)(x + 3)x(x + 4)\).
Умножим всё уравнение на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 6x(x + 4) + 2(x - 3)(x + 3) = 7x(x + 3). \]
Раскроем скобки:
\[ 6x^2 + 24x + 2(x^2 - 9) = 7x^2 + 21x. \]
Соберём все члены на одной стороне уравнения:
\[ 6x^2 + 24x + 2x^2 - 18 - 7x^2 - 21x = 0. \]
Упростим уравнение:
\[ (6x^2 + 2x^2 - 7x^2) + (24x - 21x) - 18 = 0, \]
что приводит к:
\[ x^2 + 3x - 18 = 0. \]
Теперь применим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня.
Теперь найдем корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}. \]
Вычислим корни:
- \(x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
- \(x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\).
Таким образом, решения уравнения:
\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -6. \]
Важно проверить, что найденные корни не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Значение \(x = 3\) не подходит, так как оно делает один из знаменателей равным нулю, поэтому мы имеем только одно решение:
\[ x = -6. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо дальнейшее объяснение, не стесняйтесь обращаться!
