1. {x²-y²=24 2y-x=-7 2. {x²+xy-x-y=2 x-y=2 3. {x²+y²+3xy=-1 x+2y=0
Давайте решим каждую из ваших систем уравнений.
Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ 2y - x = -7 \end{cases} \]
Начнем с первого уравнения, которое можно переписать как: \[ x^2 = y^2 + 24 \]
Теперь выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = 2y + 7 \]
Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение: \[ (2y + 7)^2 - y^2 = 24 \]
Раскроем скобки: \[ 4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24 \] \[ 3y^2 + 28y + 25 = 0 \]
Теперь применим дискриминант для решения: \[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 784 - 300 = 484 \]
Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два решения: \[ y_1 = \frac{-28 + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-28 + 22}{6} = -1 \quad (y_1) \] \[ y_2 = \frac{-28 - 22}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3} \]
Теперь подставим значения \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): Для \( y_1 = -1 \): \[ x = 2(-1) + 7 = 5 \]
Для \( y_2 = -\frac{25}{3} \): \[ x = 2 \left(-\frac{25}{3}\right) + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} \]
Таким образом, решения для первой системы: \((5, -1)\) и \(\left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right)\).
Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + xy - x - y = 2 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = x - 2 \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение: \[ x^2 + x(x - 2) - x - (x - 2) = 2 \] \[ x^2 + x^2 - 2x - x - x + 2 = 2 \] \[ 2x^2 - 4x + 2 = 2 \rightarrow 2x^2 - 4x = 0 \] \[ 2x(x - 2) = 0 \]
Это дает: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]
Теперь найдем \( y \): Для \( x = 0 \): \[ y = 0 - 2 = -2 \]
Для \( x = 2 \): \[ y = 2 - 2 = 0 \]
А значит, решения для второй системы: \((0, -2)\) и \((2, 0)\).
Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \]
Выразим \( x \) из второго уравнения: \[ x = -2y \]
Подставим это значение в первое уравнение: \[ (-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1 \] \[ 4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1 \] \[ -y^2 = -1 \rightarrow y^2 = 1 \]
Это дает два решения: \[ y = 1 \quad \text{или} \quad y = -1 \]
Теперь подставим значения \( y \) обратно в уравнение для \( x \): Для \( y = 1 \): \[ x = -2 \cdot 1 = -2 \]
Для \( y = -1 \): \[ x = -2 \cdot (-1) = 2 \]
Таким образом, решения для третьей системы: \((-2, 1)\) и \((2, -1)\).
Если у вас есть другие вопросы по этим системам уравнений или по математики, не стесняйтесь спрашивать!
