решите неравенство (x-2) (x+2) /x-8<0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-8}<0\), начнем с нахождения нулей числителя и знаменателя.
Найдем нули числителя: \((x - 2)(x + 2) = 0\) приводит нас к \(x = 2\) и \(x = -2\).
Найдем нуль знаменателя: \(x - 8 = 0\) приводит нас к \(x = 8\).
Теперь у нас есть критические точки: \(x = -2\), \(x = 2\) и \(x = 8\). Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы. Мы проверим каждый интервал, чтобы определить знак выражения на каждом из них:
Интервал \((-∞, -2)\) Выберем точку, например \(x = -3\): \[ \frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-8} = \frac{(-5)(-1)}{-11} = \frac{5}{-11} < 0 \] Здесь выражение отрицательное.
Интервал \((-2, 2)\) Выберем точку, например \(x = 0\): \[ \frac{(0-2)(0+2)}{0-8} = \frac{(-2)(2)}{-8} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} > 0 \] Здесь выражение положительное.
Интервал \((2, 8)\) Выберем точку, например \(x = 4\): \[ \frac{(4-2)(4+2)}{4-8} = \frac{(2)(6)}{-4} = \frac{12}{-4} = -3 < 0 \] Здесь выражение отрицательное.
Интервал \((8, +∞)\) Выберем точку, например \(x = 9\): \[ \frac{(9-2)(9+2)}{9-8} = \frac{(7)(11)}{1} = 77 > 0 \] Здесь выражение положительное.
Теперь можно собрать результаты:
- Отрицательное на интервалах: \((-∞, -2)\) и \((2, 8)\).
- У нас есть нули в точках \(x = -2\) и \(x = 2\), где выражение равно нулю.
- В точке \(x = 8\) происходит разрыв, и мы не включаем её в ответ.
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-∞, -2) \cup (2, 8) \] Это и есть ответ на заданное неравенство.
