решите уравнение В ответе укажите наименьший неотрицательный корень. ctg 2πx-10π/3 = √3

Для решения уравнения ctg(2πx - 10π/3) = √3, начнем с того, что вспомним определение котангенса и его свойства.

Котангенс равен √3, когда угол равен следующим значениям:

1. 2π/6 + nπ (где n — целое число), что соответствует углу 30° (или π/6).
2. 5π/6 + nπ, что соответствует углу 150° (или 5π/6).

Теперь найдем соответствующие значения для уравнения:

1. 2πx - 10π/3 = π/6 + nπ \[ 2πx = π/6 + 10π/3 + nπ \] Приведем 10π/3 к общему знаменателю: \[ 10π/3 = 10π/3 \times 2/2 = 20π/6 \] Таким образом: \[ 2πx = π/6 + 20π/6 + nπ \] \[ 2πx = 21π/6 + nπ \] \[ x = \frac{21/6 + n}{2} = \frac{7/2 + n}{2} = \frac{7 + 2n}{4} \]

2. 2πx - 10π/3 = 5π/6 + nπ \[ 2πx = 5π/6 + 10π/3 + nπ \] \[ 2πx = 5π/6 + 20π/6 + nπ \] \[ 2πx = 25π/6 + nπ \] \[ x = \frac{25/6 + n}{2} = \frac{25 + 6n}{12} \]

Теперь рассмотрим оба найденных выражения для \( x \):

1. \( x = \frac{7 + 2n}{4} \)
2. \( x = \frac{25 + 6n}{12} \)

Для нахождения наименьшего неотрицательного корня, подставим значения n в обе формулы.

Начнем с первого уравнения:

• Если n = 0: \( x = \frac{7 + 2 \cdot 0}{4} = \frac{7}{4} = 1.75 \)
• Если n = -1: \( x = \frac{7 + 2 \cdot (-1)}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
• Если n = -2: \( x = \frac{7 + 2 \cdot (-2)}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 \)
• Если n = -3: \( x = \frac{7 + 2 \cdot (-3)}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
• Если n = -4: \( x = \frac{7 + 2 \cdot (-4)}{4} = \frac{-1}{4} \) (не подходит, так как отрицательное)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

• Если n = 0: \( x = \frac{25 + 6 \cdot 0}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.08 \)
• Если n = -1: \( x = \frac{25 + 6 \cdot (-1)}{12} = \frac{19}{12} \approx 1.58 \)
• Если n = -2: \( x = \frac{25 + 6 \cdot (-2)}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.08 \)
• Если n = -3: \( x = \frac{25 + 6 \cdot (-3)}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.58 \)
• Если n = -4: \( x = \frac{25 + 6 \cdot (-4)}{12} = \frac{1}{12} \approx 0.08 \)

Теперь сравним наименьшие неотрицательные корни из обоих наборов:

• Для первого уравнения: минимальный корень = 0.25
• Для второго уравнения: минимальный корень = 0.08

Таким образом, наименьший неотрицательный корень уравнения равен \( \frac{1}{12} \) или примерно 0.08.