Решите уравнение (смотреть рисунок) В ответе укажите наименьший неотрицательный корень.

Привет! Давай разберемся с этим уравнением.

У нас дано уравнение:

\[ \text{ctg}\left(\frac{2\pi x - 10\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \]

Котангенс равен \(\sqrt{3}\), когда угол равен \(\frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k\) — целое число. Значит:

\[ \frac{2\pi x - 10\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \]

Теперь решим это уравнение для \(x\):

1. Умножим обе части на 3: \[ 2\pi x - 10\pi = \frac{\pi}{2} + 3\pi k \]

2. Сложим 10π с обеих сторон: \[ 2\pi x = \frac{\pi}{2} + 3\pi k + 10\pi\]

3. Упростим правую часть: \[ 2\pi x = \frac{\pi}{2} + 10\pi + 3\pi k \]

4. Разделим обе стороны на \(2\pi\): \[ x = \frac{\frac{\pi}{2} + 10\pi + 3\pi k}{2\pi} \]

5. Упростим выражение для \(x\): \[ x = \frac{1}{4} + 5 + \frac{3k}{2} \]

Полное выражение для \(x\): \[ x = \frac{21}{4} + \frac{3k}{2} \]

Ищем наименьший неотрицательный корень. Поскольку \(x\) будет увеличиваться на \(\frac{3}{2}\) с каждым шагом \(k\), нужно подставить \(k = -3\), чтобы получить:

\[ x = \frac{21}{4} - \frac{9}{2} = \frac{21}{4} - \frac{18}{4} = \frac{3}{4} \]

Так что, наименьший неотрицательный корень — это \(\frac{3}{4}\).

Надеюсь, помог понять! Если остались вопросы, обращайся.