й

Чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, нужно вычислить смешанное произведение этих векторов. Смешанное произведение равно скалярному произведению одного вектора с векторным произведением двух других.

Вот как это сделать шаг за шагом:

1. Найди векторное произведение векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \)

   Векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) рассчитывается как: \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 6 & -5 \\ 4 & -8 & 4 \\ \end{vmatrix} \]

   Раскроем определитель: \[ \mathbf{i}(6 \cdot 4 - (-5) \cdot (-8)) - \mathbf{j}(4 \cdot 4 - (-5) \cdot 4) + \mathbf{k}(4 \cdot (-8) - 6 \cdot 4) \]

   Получаем: \[ \mathbf{i}(-14) - \mathbf{j}(36) + \mathbf{k}(-56) \]

   Итак, векторное произведение: \((-14, -36, -56)\).

2. Вычисли скалярное произведение вектора \( \mathbf{a} \) и результата векторного произведения

   Скалярное произведение: \[ (-3, 5, 3) \cdot (-14, -36, -56) \]

   Расчет: \[ (-3) \cdot (-14) + 5 \cdot (-36) + 3 \cdot (-56) \]

   Это будет: \[ 42 - 180 - 168 = -306 \]

Итак, объем параллелепипеда равен 306 кубическим единицам.