й

Чтобы найти объём параллелепипеда, построенного на векторах \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\), нужно вычислить смешанное произведение этих векторов.

Векторы: \(\vec{a} = (-3, 5, 3)\), \(\vec{b} = (4, 6, -5)\), \(\vec{c} = (-4, -8, 4)\).

Вычислим смешанное произведение, которое по сути является определителем:

\[ \begin{vmatrix} -3 & 5 & 3 \\ 4 & 6 & -5 \\ -4 & -8 & 4 \\ \end{vmatrix} \]

Это равно:

\((-3) \cdot (6 \cdot 4 - (-5 \cdot (-8))) - 5 \cdot (4 \cdot 4 - (-5 \cdot (-4))) + 3 \cdot (4 \cdot (-8) - 6 \cdot (-4))\).

Рассчитаем:

1. Вычислим каждый определитель 2-го порядка:

   • \((6 \cdot 4 - (-5 \cdot (-8))) = (24 - 40) = -16\)
   • \((4 \cdot 4 - (-5 \cdot (-4))) = (16 - 20) = -4\)
   • \((4 \cdot (-8) - 6 \cdot (-4)) = (-32 + 24) = -8\)

2. Подставим значения:

   • \((-3) \cdot (-16) = 48\)
   • \(-5 \cdot (-4) = 20\)
   • \(3 \cdot (-8) = -24\)

3. Складываем:

   • \(48 + 20 - 24 = 44\)

Объем параллелепипеда равен 44.