Й

Даны векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\):
\(\vec{a} = (-5, 5, -5)\),
\(\vec{b} = (-5, 4, 3)\),
\(\vec{c} = (-1, -8, 3)\).

Давай по порядку рассмотрим каждое утверждение:

1. Векторы образуют правую тройку
   Чтобы проверить это, нужно найти смешанное произведение векторов: \((\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}))\).
   Если результат положителен, векторы образуют правую тройку.

2. Векторы образуют левую тройку
   Это будет верно, если результат смешанного произведения отрицателен.

3. Векторы образуют базис в пространстве
   Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Это также можно установить по смешанному произведению: оно не должно быть равно нулю.

4. Среди этих векторов есть коллинеарные
   Два вектора коллинеарны, если один является скалярным множителем другого. Нужно проверить, можно ли выразить один вектор через другой.

5. Векторы компланарны
   Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. То есть они лежат в одной плоскости.

Теперь давай посчитаем смешанное произведение для этих векторов.

Шаг 1: Найдем векторное произведение \(\vec{b} \times \vec{c}\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & 4 & 3 \\ -1 & -8 & 3 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 3 - 3 \cdot (-8)) - \mathbf{j}(-5 \cdot 3 - 3 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-5 \cdot (-8) - 4 \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(12 + 24) - \mathbf{j}(-15 + 3) + \mathbf{k}(40 + 4) \] \[ = 36\mathbf{i} + 12\mathbf{j} + 44\mathbf{k} \]

Шаг 2: Теперь смешанное произведение \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\): \[ (-5) \cdot 36 + 5 \cdot 12 + (-5) \cdot 44 = -180 + 60 - 220 = -340 \]

Итак, смешанное произведение отрицательное, значит:

• Векторы образуют левую тройку.
• Векторы не образуют базис, так как они линейно зависимы, и векторы компланарны.

Ответы:

• Векторы образуют левую тройку
• Векторы компланарны