X2 - x - 2 < 0

Для того чтобы решить неравенство \( x^2 - x - 2 < 0 \), давайте сначала найдем его корни. Это можно сделать, используя формулу корней квадратного уравнения.

1. Найдем дискриминант (D): \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

2. Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

3. Теперь определим промежутки: Корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \) делят числовую ось на три интервала:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 2) \)
   • \( (2, \infty) \)

4. Проверим знак выражения \( x^2 - x - 2 \) на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 \]
   • Для интервала \( (-1, 2) \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 0 - 2 = -2 < 0 \]
   • Для интервала \( (2, \infty) \) (например, \( x = 3 \)): \[ 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \]

5. Итак, неравенство \( x^2 - x - 2 < 0 \) выполняется на интервале: \[ (-1, 2) \]

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - x - 2 < 0 \) – это интервал: \[ x \in (-1, 2) \]