Распределение вероятностей дискретной случайной величины X. а) Значения X : 1; 2; 3; 4; 5. Вероятность : 0,2; 0,1; 0,1; 0,2; 0,4. б) Значения X : -2; -1; 0; 1; 2. Вероятность : 1/16; 1/8; 1/4; 1/2; 1/16. в) Значения : 3; 7; 11; 15; 19. Вероятность : 1/16; 3/16; 1/2; 2/16; 1/16. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X.

Чтобы найти дисперсию и стандартное отклонение дискретной случайной величины X, сначала нужно рассчитать математическое ожидание (среднее значение), а затем использовать его для вычисления дисперсии.

a) Значения X: 1, 2, 3, 4, 5

Вероятности: 0,2; 0,1; 0,1; 0,2; 0,4.

1. Нахождение математического ожидания (E(X)):

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)) = 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,4 \]

\[ E(X) = 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,8 + 2,0 = 3,5 \]

2. Расчет дисперсии (Var(X)):

\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) = 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,4 \]

\[ E(X^2) = 0,2 + 0,4 + 0,9 + 3,2 + 12,5 = 17,2 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ Var(X) = 17,2 - (3,5)^2 = 17,2 - 12,25 = 4,95 \]

3. Стандартное отклонение (σ):

\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{4,95} \approx 2,22 \]

b) Значения X: -2, -1, 0, 1, 2

Вероятности: 1/16; 1/8; 1/4; 1/2; 1/16.

1. Нахождение математического ожидания (E(X)):

\[ E(X) = -2 \cdot \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{16} \]

\[ E(X) = -\frac{2}{16} - \frac{2}{16} + 0 + \frac{8}{16} + \frac{2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]

2. Расчет дисперсии (Var(X)):

\[ E(X^2) = (-2)^2 \cdot \frac{1}{16} + (-1)^2 \cdot \frac{1}{8} + 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{16} \]

\[ E(X^2) = \frac{4}{16} + \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{4}{16} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ E(X^2) = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + 0 + \frac{8}{16} + \frac{4}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{9}{8} - \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{8} - \frac{9}{64} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ Var(X) = \frac{72}{64} - \frac{9}{64} = \frac{63}{64} \]

3. Стандартное отклонение (σ):

\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{63}{64}} \approx 0,98 \]

в) Значения X: 3, 7, 11, 15, 19

Вероятности: 1/16; 3/16; 1/2; 2/16; 1/16.

1. Нахождение математического ожидания (E(X)):

\[ E(X) = 3 \cdot \frac{1}{16} + 7 \cdot \frac{3}{16} + 11 \cdot \frac{1}{2} + 15 \cdot \frac{2}{16} + 19 \cdot \frac{1}{16} \]

\[ E(X) = \frac{3}{16} + \frac{21}{16} + \frac{88}{16} + \frac{30}{16} + \frac{19}{16} = \frac{161}{16} = 10,0625 \]

2. Расчет дисперсии (Var(X)):

\[ E(X^2) = 3^2 \cdot \frac{1}{16} + 7^2 \cdot \frac{3}{16} + 11^2 \cdot \frac{1}{2} + 15^2 \cdot \frac{2}{16} + 19^2 \cdot \frac{1}{16} \]

\[ E(X^2) = \frac{9}{16} + \frac{147}{16} + \frac{121}{16} + \frac{450}{16} + \frac{361}{16} = \frac{1088}{16} = 68 \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 68 - (10,0625)^2 \]

\[ (10,0625)^2 = 101,256 \]

Итак:

\[ Var(X) = 68 - 101,256 = -33,256 \]

Обратите внимание, что данный расчет не может быть верным, так как дисперсия не может быть отрицательной. Проверьте вероятности на предмет корректности, возможно, они не суммируются до 1 или была допущена ошибка в расчетах.

Если вам нужно продолжить или есть вопросы, не стесняйтесь обращаться!