Практическая работа «Подготовка к экзамену. Логарифмические уравнения. Интегралы» Цель: вспомнить решение логарифмических уравнений и неравенств. Примечание: решение, выполненное с помощью электронных средств не принимается. Задание 1. Решить уравнение: Пример решения log2(x-3) = 4 Шаг 1. Что такое логарифм? Логарифм - это просто вопрос: "В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить (х - 3)?" Например, log2 8 = 3, потому что 23 = 8. А здесь говорится, что 2 в четвёртой степени должно равняться х - 3. Шаг 2. Перепишем логарифм в удобной форме Логарифм можно записать иначе. У нас есть: log2(x-3)=4 Это означает, что: x- 3 = 24 Шаг 3. Считаем степень x-3=16 Шаг 4. Решаем уравнение x=16+3 x=19 Наш ответ: 19 Решить уравнения log2(x2 - 4x + 3) = 3 log3(x2-2x-3) = 2 log2(2x²-3x-2) = 4 logs (x2 - 6х + 5) = 2 log3(x2 + x -6) = 2 logs(x2-x - 6) = 2 log2(3x² - 9x + 6) = 3 log1(2x2 - 8x + 6) = 2 log2(x²-3x-4) = 3 1082(x2 - 5x +6) = 3 Задание 2 Вычислить интегралы Пример решения: Пример 4. Решение: f(x) = 3-2x-x² F(x)=3x-x²-3 Вычислить определённый интеграл: [3-2- (3-2x-x2)dx -12-2 1.fo-dx= c (3-2x-x²)dx = (3x - x² -|- 2. 13 12 x3 3 ( 23 -2 2. (1-dx=x+C ран

Хорошо, давайте разберем решение логарифмических уравнений и вычисление интегралов шаг за шагом.

Задание 1. Решение логарифмических уравнений

У вас есть несколько примеров логарифмических уравнений. Рассмотрим их по порядку.

Пример 1: \( \log_2(x^2 - 4x + 3) = 3 \)

Шаг 1. Записать логарифм в другой форме.

Это уравнение означает, что:
\( x^2 - 4x + 3 = 2^3 \)
\( x^2 - 4x + 3 = 8 \)

Шаг 2. Привести уравнение к стандартному виду.

Переносим 8 на другую сторону:
\( x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \)
\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.

Можно разложить его на множители:
\( (x - 5)(x + 1) = 0 \)
Отсюда: \( x = 5 \) или \( x = -1 \)

Шаг 4. Проверяем условия логарифма.

Логарифм определён только для положительных аргументов, проверим:
Для \( x = 5 \): \( 5^2 - 4\cdot5 + 3 = 8 > 0 \) — подходит.
Для \( x = -1 \): \( (-1)^2 - 4\cdot(-1) + 3 = 8 > 0 \) — тоже подходит.

Ответ: \( x = 5, -1 \)

Пример 2: \( \log_3(x^2 - 2x - 3) = 2 \)

Проделаем аналогичные шаги.

Шаг 1. Переписываем логарифм.
\( x^2 - 2x - 3 = 3^2 \)
\( x^2 - 2x - 3 = 9 \)

Шаг 2. Приведем к стандартному виду.
\( x^2 - 2x - 12 = 0 \)

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.
\( (x - 6)(x + 2) = 0 \)
\( x = 6 \) или \( x = -2 \)

Шаг 4. Проверка.
Для \( x = 6 \): \( 6^2 - 2\cdot6 - 3 = 9 > 0 \) — подходит.
Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 - 2\cdot(-2) - 3 = 9 > 0 \) — тоже подходит.

Ответ: \( x = 6, -2 \)

Вы можете продолжить решать оставшиеся логарифмические уравнения, следуя этим шагам.

Задание 2. Вычисление интегралов

Рассмотрим пример интеграла.

Пример: Вычислить \( \int (3 - 2x - x^2)dx \)

Шаг 1. Найти первообразную.
Используем правило интегрирования:
\[ F(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} + C \]

Шаг 2. Вычисляем определенный интеграл.
Предположим, что мы хотим вычислить интеграл от 1 до 2. Тогда:

\[ \int_1^2 (3 - 2x - x^2)dx = F(2) - F(1) \]

Сначала находим \( F(2) \): \[ F(2) = 3 \cdot 2 - 2^2 - \frac{2^3}{3} = 6 - 4 - \frac{8}{3} = 2 - \frac{8}{3} = \frac{6 - 8}{3} = -\frac{2}{3} \]

Теперь находим \( F(1) \): \[ F(1) = 3 \cdot 1 - 1^2 - \frac{1^3}{3} = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} \]

Теперь вычтем: \[ \int_1^2 (3 - 2x - x^2)dx = F(2) - F(1) = -\frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{7}{3} \]

Это пример определения интеграла. Вы можете использовать аналогичный подход для вычисления других интегралов. Если вам нужно больше пояснений или нужно решить что-то конкретное, дайте знать! Удачи в подготовке к экзаменам!