Построить векторы a =3i + j b =2i -j , c = i - 3j Разложить вектор с по векторам a и b геометрически.

Чтобы разложить вектор \( \mathbf{c} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} \) по векторам \( \mathbf{a} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} \) и \( \mathbf{b} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} \), нам нужно выразить вектор \( \mathbf{c} \) в виде линейной комбинации векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Это значит, что мы ищем такие скаляры \( k_1 \) и \( k_2 \), чтобы:

\[ \mathbf{c} = k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b} \]

Подставим векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{c} = k_1 (3\mathbf{i} + \mathbf{j}) + k_2 (2\mathbf{i} - \mathbf{j}) \]

Раскроем скобки:

\[ \mathbf{c} = (3k_1 + 2k_2)\mathbf{i} + (k_1 - k_2)\mathbf{j} \]

Теперь приравняем компоненты векторов. У нас есть:

1. Для компоненты \( \mathbf{i} \): \[ 3k_1 + 2k_2 = 1 \]

2. Для компоненты \( \mathbf{j} \): \[ k_1 - k_2 = -3 \]

Теперь решим систему уравнений. Начнем с второго уравнения:

\[ k_1 = k_2 - 3 \]

Подставим это выражение для \( k_1 \) в первое уравнение:

\[ 3(k_2 - 3) + 2k_2 = 1 \]

Упростим уравнение:

\[ 3k_2 - 9 + 2k_2 = 1 \]

Соберем \( k_2 \):

\[ 5k_2 - 9 = 1 \]

Теперь добавим 9 к обеим сторонам:

\[ 5k_2 = 10 \]

Разделим обе стороны на 5:

\[ k_2 = 2 \]

Теперь подставим значение \( k_2 \) в выражение для \( k_1 \):

\[ k_1 = 2 - 3 = -1 \]

Таким образом, мы нашли значения \( k_1 \) и \( k_2 \):

\[ k_1 = -1, \quad k_2 = 2 \]

Теперь можем записать разложение вектора \( \mathbf{c} \):

\[ \mathbf{c} = -1 \cdot \mathbf{a} + 2 \cdot \mathbf{b} \]

Это означает, что вектор \( \mathbf{c} \) можно представить как линейную комбинацию векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), где мы отнимаем вектор \( \mathbf{a} \) и добавляем два вектора \( \mathbf{b} \).

Такое разложение наглядно показывает, как вектор \( \mathbf{c} \) связано с другими двумя векторами в пространстве.