5x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 3x_1 + 5x_2 - 3x_3 = -1 -2x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 1 метод Сорюса

Для решения данной системы линейных уравнений методом Сорюса, мы начнем с записи уравнений в виде:

1. \( 5x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 \)
2. \( 3x_1 + 5x_2 - 3x_3 = -1 \)
3. \( -2x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 1 \)

Метод Сорюса (или метод Крамера) основан на вычислении определителей. Для начала, запишем матрицу коэффициентов \( A \) и вектор свободных членов \( B \):

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & -3 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Вычисление определителя матрицы \( A \)

Чтобы найти определитель матрицы \( A \), можем использовать формулу для определителя 3x3 матрицы:

\[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]

Где:

\[ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \]

Применим элементы из матрицы \( A \):

\[ \text{det}(A) = 5(5 \cdot 3 - (-3) \cdot (-4)) - 2(3 \cdot 3 - (-3) \cdot (-2)) + 5(3 \cdot (-4) - 5 \cdot (-2)) \]

Рассчитаем каждую часть:

1. \( 5(15 - 12) = 5 \cdot 3 = 15 \)
2. \( -2(9 - 6) = -2 \cdot 3 = -6 \)
3. \( 5(-12 + 10) = 5 \cdot (-2) = -10 \)

Теперь сложим результаты:

\[ \text{det}(A) = 15 - 6 - 10 = -1 \]

Шаг 2: Вычисление определителей для \( x_1, x_2, x_3 \)

Теперь найдем определители \( D_{x_1}, D_{x_2}, D_{x_3} \), заменяя соответствующие столбцы матрицы \( A \) вектором \( B \).

Определитель \( D_{x_1} \):

\[ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 5 \\ -1 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычисляем:

\[ D_{x_1} = 4(5 \cdot 3 - (-3)(-4)) - 2(-1 \cdot 3 - (-3) \cdot 1) + 5(-1 \cdot (-4) - 5 \cdot 1) \]

Рассчитаем каждую часть:

1. \( 4(15 - 12) = 4 \cdot 3 = 12 \)
2. \( -2(-3 + 3) = 0 \)
3. \( 5(4 - 5) = 5 \cdot (-1) = -5 \)

Теперь:

\[ D_{x_1} = 12 + 0 - 5 = 7 \]

Определитель \( D_{x_2} \):

\[ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 3 & -1 & -3 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычисляем следуя аналогичным шагам.

Определитель \( D_{x_3} \):

\[ D_{x_3} = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Шаг 3: Находим значения переменных

Теперь, когда у нас есть определитель \( D \) и определители для каждой переменной, мы можем найти:

\[ x_1 = \frac{D_{x_1}}{D}, \quad x_2 = \frac{D_{x_2}}{D}, \quad x_3 = \frac{D_{x_3}}{D} \]

Подсчитайте \( D_{x_2} \) и \( D_{x_3} \) так же, как и в предыдущих шагах, и замените в формулы для нахождения значений \( x_1, x_2, x_3 \).

Система имеет решение, если \( D \neq 0 \). Удачи в вычислениях! Если возникнут вопросы, не стесняйтесь обращаться за помощью!