5x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 3x_1 + 5x_2 - 3x_3 = -1 -2x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 1 Реши методом Сорюса.Решац до конца и все подробно и понятно
Для решения данной системы линейных уравнений методом Сорюса (или методом Крамера), сначала мы запишем систему в матричной форме.
Дана система уравнений:
- \( 5x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 4 \)
- \( 3x_1 + 5x_2 - 3x_3 = -1 \)
- \( -2x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 1 \)
Сначала нам нужно сформировать матрицу коэффициентов \( A \) и вектор свободных членов \( B \):
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & -3 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Теперь мы вычислим определитель матрицы \( A \) (обозначим его \( D \)), который поможет нам понять, существует ли уникальное решение:
\[ D = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & -3 \\ -2 & -4 & 3 \end{vmatrix} \]
Для вычисления определителя 3x3 можно использовать правило Саррюса:
\[ D = 5(5 \cdot 3 + 3 \cdot (-4)) - 2(3 \cdot 3 + (-2) \cdot (-4)) + 5(3 \cdot (-4) + (-2) \cdot 5) \] \[ D = 5(15 - 12) - 2(9 + 8) + 5(-12 - 10) \] \[ D = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 17 - 5 \cdot 22 \] \[ D = 15 - 34 - 110 \] \[ D = 15 - 144 = -129 \]
С учетом того, что \( D \neq 0 \), система имеет единственное решение. Далее мы вычислим определители \( D_1, D_2, D_3 \) для нахождения \( x_1, x_2, x_3 \).
- Определитель \( D_1 \) для \( x_1 \):
Заменим первый столбец матрицы \( A \) на вектор \( B \):
\[ D_1 = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 5 \\ -1 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & 3 \end{vmatrix} \]
Согласно правилу Саррюса:
\[ D_1 = 4(5 \cdot 3 + 3 \cdot (-4)) - 2(-1 \cdot 3 + 1 \cdot (-3)) + 5(-1 \cdot (-4) + 1 \cdot 5) \] \[ = 4(15 - 12) - 2(-3 - 3) + 5(4 + 5) \] \[ = 4 \cdot 3 + 12 + 5 \cdot 9 \] \[ = 12 + 12 + 45 \] \[ = 69 \]
- Определитель \( D_2 \) для \( x_2 \):
Заменим второй столбец матрицы \( A \) на вектор \( B \):
\[ D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 3 & -1 & -3 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]
Вычисляем \( D_2 \):
\[ D_2 = 5(-1 \cdot 3 + 1 \cdot (-3)) - 4(3 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3)) + 5(3 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1)) \] \[ = 5(-3 - 3) - 4(9 - 6) + 5(3 - 2) \] \[ = 5 \cdot (-6) - 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \] \[ = -30 - 12 + 5 \] \[ = -37 \]
- Определитель \( D_3 \) для \( x_3 \):
Заменим третий столбец матрицы \( A \) на вектор \( B \):
\[ D_3 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]
Вычисляем \( D_3 \):
\[ D_3 = 5(5 \cdot 1 + (-1) \cdot (-4)) - 2(3 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1)) + 4(3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 5) \] \[ = 5(5 + 4) - 2(3 - 2) + 4(-12 + 10) \] \[ = 5 \cdot 9 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) \] \[ = 45 - 2 - 8 \] \[ = 35 \]
Теперь мы можем найти значения \( x_1, x_2, x_3 \):
\[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{69}{-129} = -\frac{69}{129} = -\frac{23}{43} \]
\[ x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-37}{-129} = \frac{37}{129} \]
\[ x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{35}{-129} = -\frac{35}{129} \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x_1 = -\frac{23}{43}, \quad x_2 = \frac{37}{129}, \quad x_3 = -\frac{35}{129}. \]
Если нужны более подробные объяснения по каждому шагу, с удовольствием помогу!
