Спускаемый аппарат массой 2900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 3 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Тихонова для изменения скорости тела при использовании реактивного двигателя:

\[ \Delta v = v_e \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right) \]

где:

• \(\Delta v\) — изменения скорости,
• \(v_e\) — скорость истечения газов из сопла (3 км/с = 3000 м/с),
• \(m_0\) — начальная масса аппарата (2900 кг + масса топлива),
• \(m_f\) — конечная масса аппарата после сгорания топлива.

Сначала определим, на сколько должна снизиться скорость. Масса спускаемого аппарата \(m = 2900 \, \text{кг}\), и скорость, которую мы хотим уменьшить на 1%, равна:

\[ \Delta v = 0.01 \cdot v \]

Сначала найдем текущую скорость аппарата. На низкой орбите скорость свободного падения можно приблизительно считать равной:

\[ v = \sqrt{g h} = \sqrt{8.63 \, \text{м/с}^2 \cdot 400000 \, \text{м}} \approx 178.4 \, \text{м/с} \]

Теперь определим 1% от этой скорости:

\[ \Delta v = 0.01 \cdot 178.4 \, \text{м/с} \approx 1.784 \, \text{м/с} \]

Теперь подставим все известные значения в уравнение Тихонова:

\[ 1.784 = 3000 \cdot \ln\left(\frac{2900 + m_t}{2900}\right) \]

где \(m_t\) — масса сгоревшего топлива. Найдем логарифм:

\[ \ln\left(\frac{2900 + m_t}{2900}\right) = \frac{1.784}{3000} \]

Теперь вычислим:

\[ \frac{1.784}{3000} \approx 0.0005947 \]

Теперь возведем в экспоненту:

\[ \frac{2900 + m_t}{2900} = e^{0.0005947} \approx 1.0005947 \]

Теперь выразим массу топлива \(m_t\):

\[ 2900 + m_t = 2900 \cdot 1.0005947 \approx 2901.72 \]

Следовательно:

\[ m_t \approx 2901.72 - 2900 = 1.72 \, \text{кг} \]

Теперь округлим до десятых:

Ответ:

\[ m_t \approx 1.7 \, \text{кг} \]

Таким образом, масса сгоревшего топлива должна составлять примерно 1.7 кг.