Знайдіть площу трикутника з периметром 64 см, найбільша сторона якого відрізняється від двох інших на 1 см і 25 см.

Позначимо довжини сторін трикутника через \( a \), \( b \) і \( c \), причому \( c \) — найбільша сторона. За умовою задачі маємо наступні рівняння:

1. Периметр трикутника: \[ a + b + c = 64 \]

2. Відношення сторін: \[ c = a + 1 \quad \text{і} \quad c = b + 25 \]

З виразу \( c = a + 1 \) можемо виразити \( a \) через \( c \): \[ a = c - 1 \]

З виразу \( c = b + 25 \) можемо виразити \( b \) через \( c \): \[ b = c - 25 \]

Тепер підставимо вирази для \( a \) і \( b \) в формулу периметра: \[ (c - 1) + (c - 25) + c = 64 \]

Упорядкуємо рівняння: \[ 3c - 26 = 64 \] \[ 3c = 90 \] \[ c = 30 \]

Тепер можемо знайти \( a \) і \( b \): \[ a = c - 1 = 30 - 1 = 29 \] \[ b = c - 25 = 30 - 25 = 5 \]

Отже, сторони трикутника: \( a = 29 \) см, \( b = 5 \) см, \( c = 30 \) см.

Для знаходження площі трикутника скористаємося формулою Герона:

1. Спочатку знайдемо півпериметр \( s \): \[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{29 + 5 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32 \]

2. Тепер можемо знайти площу \( S \): \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{32(32-29)(32-5)(32-30)} \] \[ S = \sqrt{32 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 2} = \sqrt{32 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 2} \] \[ = \sqrt{32 \cdot 54} = \sqrt{1728} = 12 \sqrt{12} \] \[ = 12 \cdot 3.464 = 41.57 \text{ см}^2 \text{ (приблизно)} \]

Таким чином, площа трикутника складає приблизно \( 41.57 \) см².