((9x ^ 6 * y ^ 11 * z ^ 21 * t ^ 18 * p ^ 24 * q ^ 4) ^ 6)/((3x ^ 3 * y ^ 3 * z ^ 10 * t ^ 8 * p ^ 12 * q ^ 2) ^ 12)

Для решения задачи, представленной в виде дроби, давайте упростим выражение:

\[ \frac{(9x^{6}y^{11}z^{21}t^{18}p^{24}q^{4})^{6}}{(3x^{3}y^{3}z^{10}t^{8}p^{12}q^{2})^{12}} \]

Начнем с обработки чисел и переменных в числителе и знаменателе.

Числитель:

1. \(9^{6} = (3^{2})^{6} = 3^{12}\)
2. Степени переменных умножаются на 6:
   • \(x^{6 \times 6} = x^{36}\)
   • \(y^{11 \times 6} = y^{66}\)
   • \(z^{21 \times 6} = z^{126}\)
   • \(t^{18 \times 6} = t^{108}\)
   • \(p^{24 \times 6} = p^{144}\)
   • \(q^{4 \times 6} = q^{24}\)

Таким образом, числитель будет равен:

\[ 3^{12} x^{36} y^{66} z^{126} t^{108} p^{144} q^{24} \]

Знаменатель:

1. \(3^{12} = 3^{12}\)
2. Степени переменных умножаются на 12:
   • \(x^{3 \times 12} = x^{36}\)
   • \(y^{3 \times 12} = y^{36}\)
   • \(z^{10 \times 12} = z^{120}\)
   • \(t^{8 \times 12} = t^{96}\)
   • \(p^{12 \times 12} = p^{144}\)
   • \(q^{2 \times 12} = q^{24}\)

Таким образом, знаменатель будет равен:

\[ 3^{12} x^{36} y^{36} z^{120} t^{96} p^{144} q^{24} \]

Теперь подставим числитель и знаменатель в дробь:

\[ \frac{3^{12} x^{36} y^{66} z^{126} t^{108} p^{144} q^{24}}{3^{12} x^{36} y^{36} z^{120} t^{96} p^{144} q^{24}} \]

Теперь сократим общие множители:

• \(3^{12}\) сокращается.
• \(x^{36}\) также сокращается.
• \(p^{144}\) также сокращается.
• \(q^{24}\) также сокращается.

Останутся только:

\[ \frac{y^{66}}{y^{36}} \cdot \frac{z^{126}}{z^{120}} \cdot \frac{t^{108}}{t^{96}} = y^{66 - 36} \cdot z^{126 - 120} \cdot t^{108 - 96} \]

После вычитания степеней получаем:

\[ y^{30} \cdot z^{6} \cdot t^{12} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ y^{30} z^{6} t^{12} \]