изобразите сумму, разность, произведения и частное двух комплексных чисел в одной оси координат: z¹=6i-2; z²=5i-7
Чтобы изобразить сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел \( z_1 = 6i - 2 \) и \( z_2 = 5i - 7 \) на одной системе координат, сначала найдем каждую из этих операций и затем определим их координаты на комплексной плоскости.
Сумма: \[ z_1 + z_2 = (6i - 2) + (5i - 7) = (6i + 5i) + (-2 - 7) = 11i - 9 \] Координаты суммы: \((-9, 11)\).
Разность: \[ z_1 - z_2 = (6i - 2) - (5i - 7) = (6i - 5i) + (-2 + 7) = i + 5 \] Координаты разности: \((5, 1)\).
Произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = (6i - 2)(5i - 7) \] Используем распределительное свойство: \[ = 6i \cdot 5i + 6i \cdot (-7) + (-2) \cdot 5i + (-2) \cdot (-7) \] \[ = 30i^2 - 42i - 10i + 14 = 30(-1) - 52i + 14 = -30 - 52i + 14 = -16 - 52i \] Координаты произведения: \((-16, -52)\).
Частное: Чтобы найти частное \( z_1 / z_2 \), воспользуемся формулой: \[ z_1 / z_2 = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{z_2 \cdot \bar{z_2}}, \] где \( \bar{z_2} \) - комплексно-сопряжённое число \( z_2 = 5i - 7 \): \[ \bar{z_2} = -5i - 7. \] Находим \( z_2 \cdot \bar{z_2} \): \[ z_2 \cdot \bar{z_2} = (5i - 7)(-5i - 7) = -25i^2 + 49 = 25 + 49 = 74. \] Теперь вычислим \( z_1 \cdot \bar{z_2} \): \[ z_1 \cdot \bar{z_2} = (6i - 2)(-5i - 7) = -30i^2 - 42i + 10i + 14 = 30 - 32i + 14 = 44 - 32i. \] Таким образом, \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{44 - 32i}{74} = \frac{44}{74} - \frac{32}{74}i = \frac{22}{37} - \frac{16}{37}i. \] Координаты частного: \(\left(\frac{22}{37}, -\frac{16}{37}\right)\).
Теперь вы можете изобразить все четыре результата на комплексной плоскости (горизонтальная ось – это действительные числа, вертикальная – мнимые числа):
- Сумма: \((-9, 11)\)
- Разность: \((5, 1)\)
- Произведение: \((-16, -52)\)
- Частное: \(\left(\frac{22}{37}, -\frac{16}{37}\right)\)
Надеюсь, это поможет вам лучше понять работу с комплексными числами!
