В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику ADM, где точка М: а) является серединой стороны CD; б) делит…

Для решения задачи удобно представить квадрат ABCD и анализировать геометрические настройки.

1. Случай a: М - середина стороны CD.

Пусть квадрат имеет сторону длины \( a \). В этом случае координаты вершин будут:

• A(0, a)
• B(a, a)
• C(a, 0)
• D(0, 0)

Точка M, являющаяся серединой CD, будет иметь координаты:

• M\(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)

Теперь определим треугольник ADM. Его вершины:

• A(0, a)
• D(0, 0)
• M\(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)

Площадь треугольника ADM можно найти по формуле:

\[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4} \]

Площадь квадрата ABCD:

\[ S_{ABCD} = a^2 \]

Теперь находим вероятность того, что точка X попадёт в треугольник ADM:

\[ P(A \in ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{a^2} = \frac{1}{4} \]

2. Случай b: M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C.

Пусть длина отрезка CD равна a. То есть:

• C(a, 0)
• D(0, 0)

Точка M будет делить отрезок CD так, что CM = \(\frac{2a}{3}\) и MD = \(\frac{a}{3}\). Координаты точки M в этом случае:

M\(\left(\frac{a}{3}, 0\right)\)

Теперь найдем площадь треугольника ADM с новыми координатами:

• A(0, a)
• D(0, 0)
• M\(\left(\frac{a}{3}, 0\right)\)

Площадь треугольника ADM:

\[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot a = \frac{a^2}{6} \]

Вероятность попадания точки X в треугольник ADM:

\[ P(A \in ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a^2}{6}}{a^2} = \frac{1}{6} \]

3. Случай в: M делит отрезок CD в отношении \( t:p \), считая от точки C.

Координаты точки M будут:

M\(\left(\frac{p}{t+p} a, 0\right)\)

Теперь можно рассчитать площадь треугольника ADM так же, как и раньше:

Площадь треугольника ADM:

\[ S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{t+p} a \cdot a = \frac{p a^2}{2(t+p)} \]

Вероятность попадания точки X в треугольник ADM:

\[ P(A \in ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{p a^2}{2(t+p)}}{a^2} = \frac{p}{2(t+p)} \]

Таким образом, у нас есть: а) \(\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{6}\); в) \(\frac{p}{2(t+p)}\).