вычислите площадь земельного участка, границы которого заданы уравнениями линий y1 и y2 сотни метров y1=x^2+8x+15 y2=x+5
Чтобы вычислить площадь земельного участка, ограниченного заданными уравнениями линий \(y_1\) и \(y_2\), сначала найдем точки их пересечения. Уравнения звучат следующим образом:
- \(y_1 = x^2 + 8x + 15\)
- \(y_2 = x + 5\)
Для нахождения точек пересечения установим равенство между уравнениями:
\[ x^2 + 8x + 15 = x + 5 \]
Переносим все элементы на одну сторону:
\[ x^2 + 8x + 15 - x - 5 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = 10\). Подставим значения:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm 3}{2} \]
Теперь находим два корня:
- \(x_1 = \frac{-4}{2} = -2\)
- \(x_2 = \frac{-10}{2} = -5\)
Теперь имеем точки пересечения в \(x = -2\) и \(x = -5\). Для нахождения площади между кривыми на заданном интервале, воспользуемся интегралом:
\[ P = \int_{-5}^{-2} (y_1 - y_2) \, dx \]
Вычтем \(y_2\) из \(y_1\):
\[ y_1 - y_2 = (x^2 + 8x + 15) - (x + 5) = x^2 + 7x + 10 \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ P = \int_{-5}^{-2} (x^2 + 7x + 10) \, dx \]
Сначала найдем неопределённый интеграл:
\[ \int (x^2 + 7x + 10) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} + 10x \]
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ P = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} + 10x \right]_{-5}^{-2} \]
Вычислим \(P\) для \(x = -2\):
\[ P(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + \frac{7(-2)^2}{2} + 10(-2) = \frac{-8}{3} + \frac{28}{2} - 20 \] \[ = \frac{-8}{3} + 14 - 20 = \frac{-8}{3} - 6 = \frac{-8 - 18}{3} = \frac{-26}{3} \]
Теперь для \(x = -5\):
\[ P(-5) = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{7(-5)^2}{2} + 10(-5) = \frac{-125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \] \[ = \frac{-125}{3} + \frac{525}{6} - 50 = \frac{-250}{6} + \frac{525}{6} - \frac{300}{6} = \frac{-250 + 525 - 300}{6} = \frac{-25}{6} \]
Теперь наконец находим площадь:
\[ P = P(-2) - P(-5) \] \[ = \left( \frac{-26}{3} - \frac{-25}{6} \right) \]
Для упрощения найдем общий знаменатель (6):
\[ = \left( \frac{-52}{6} + \frac{25}{6} \right) = \frac{-52 + 25}{6} = \frac{-27}{6} = \frac{27}{6} \text{ (площадь всегда положительна)} \]
Таким образом, площадь земельного участка составляет:
\[ P = \frac{27}{6} \, \text{квадратных метра, что можно еще упростить до} \, 4.5 \text{ квадратных метра.} \]
Если необходимо, можно также представить ответ в других единицах, например, в сотках. Вычисления подтверждают, что участок имеет площадь 4.5 квадратных метра.
