(x-5)⁴-10(x-5)²+9=0
Давайте решим уравнение \((x-5)^{4} - 10(x-5)^{2} + 9 = 0\).
Чтобы упростить задачу, введем новую переменную. Пусть \(y = (x-5)^2\). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y^{2} - 10y + 9 = 0. \]
Это квадратное уравнение, и мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае:
- \(a = 1\),
- \(b = -10\),
- \(c = 9\).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
\[ y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9, \]
\[ y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]
Теперь мы вернемся к переменной \(x\), используя \(y = (x-5)^2\):
- Для \(y_1 = 9\):
\((x - 5)^2 = 9\)
\(x - 5 = 3\) или \(x - 5 = -3\)
Следовательно,
\(x_1 = 8\) и \(x_2 = 2\).
- Для \(y_2 = 1\):
\((x - 5)^2 = 1\)
\(x - 5 = 1\) или \(x - 5 = -1\)
Следовательно,
\(x_3 = 6\) и \(x_4 = 4\).
Таким образом, мы получили 4 решения для уравнения:
\(x = 8, 2, 6, 4\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить какой-либо шаг подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
