В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка Х .Найдите вероятность того ,что эта точка принадлежит трапеции AMCD ,где точка М - середина стороны BC
Для решения этой задачи давайте сначала разберёмся с геометрией квадрата ABCD и трапеции AMCD.
Определим фигуры: Пусть квадрат ABCD имеет сторону длиной \( a \). Тогда его вершины находятся в следующих координатах:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)
Точка \( M \) — середина стороны \( BC \), то есть её координаты:
- \( M\left(a, \frac{a}{2}\right) \)
Площадь трапеции AMCD: Эта трапеция состоит из оснований \( AM \) и \( CD \). Давайте найдем её площади.
- Длина основания \( CD \) равна стороне квадрата, то есть \( a \).
- Длина основания \( AM \) равна расстоянию от точки \( A(0, 0) \) до точки \( M\left(a, \frac{a}{2}\right) \): \[ AM = \sqrt{(a - 0)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \]
Теперь найдем высоту трапеции, которая равна расстоянию от линии \( AM \) до линии \( CD \). Поскольку у нас квадраты, высота трапеции также равна \( \frac{a}{2} \).
Площадь трапеции \( AMCD \) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(A_1 + A_2) \cdot h}{2} \] где \( A_1 = AM \), \( A_2 = CD \), и \( h \) — высота. Подставляя: \[ S = \frac{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2} + a\right) \cdot \frac{a}{2}}{2} \] Упрощая, получаем: \[ S = \frac{(a\sqrt{5}/2 + a) \cdot a/2}{2} = \frac{a^2(\sqrt{5}/2 + 1)}{4} \]
Общая площадь квадрата: Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).
Вероятность выбора точки Х, принадлежащей трапеции AMCD: Вероятность определяется как отношение площади трапеции к площади квадрата: \[ P = \frac{S}{S_{square}} = \frac{\frac{a^2(\frac{\sqrt{5}}{2} + 1)}{4}}{a^2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} + 1}{4} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка \( X \) принадлежит трапеции \( AMCD \), равна \( \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} + 1}{4} \).
