В цехе 5 сотрудников. Заработная плата начисляется в соответствии с уровнем квалификации. В ноябре самому квалифицированному из них повысили зарплату на 10081 руб., а самому…
В цехе 5 сотрудников. Заработная плата начисляется в соответствии с уровнем квалификации. В ноябре самому квалифицированному из них повысили зарплату на 10081 руб., а самому неопытному, наоборот, снизили на 1261 руб. Насколько увеличилась разница между медианой и средней заработной платой в ноябре по сравнению с октябрём?
Для решения задачи сначала определим, что такое медиана и средняя заработная плата.
- Средняя заработная плата - это сумма всех заработных плат, деленная на количество сотрудников.
- Медиана заработной платы - это значение, которое делит распределение на две равные части. В контексте пятерых сотрудников это будет зарплата третьего по величине (когда все зарплаты упорядочены).
Пусть у нас есть заработные платы сотрудников в октябре: \( Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5 \), упорядоченные по возрастанию.
В ноябре одной зарплате добавляется 10081 руб., а другой уменьшается на 1261 руб. Обозначим:
- Самый квалифицированный сотрудник (с зарплатой \( Z_5 \)): \( Z_5 + 10081 \)
- Самый неопытный сотрудник (с зарплатой \( Z_1 \)): \( Z_1 - 1261 \)
Таким образом, в ноябре у нас будут следующие зарплаты: \( Z_1 - 1261, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5 + 10081 \).
Теперь давайте проанализируем, как могут измениться медиана и средняя заработная плата.
Очевидные изменения:
- Если \( (Z_5 + 10081) \) становится больше всех остальных зарплат, то медиана не изменится и останется равной \( Z_3 \).
- Если \( (Z_1 - 1261) \) остается самым низким значением, средняя зарплата возрастет, так как одна из зарплат повысилась значительно, а другая, хоть и понизилась, но на меньшее значение.
Расчет изменений:
В октябре:
\( \text{Средняя} = \frac{Z_1 + Z_2 + Z_3 + Z_4 + Z_5}{5} \)
\( \text{Медиана} = Z_3 \)
Разница: \( D_{\text{окт}} = Z_3 - \text{Средняя} \)В ноябре:
\( \text{Средняя} = \frac{(Z_1 - 1261) + Z_2 + Z_3 + Z_4 + (Z_5 + 10081)}{5} = \frac{Z_1 + Z_2 + Z_3 + Z_4 + Z_5 + 10081 - 1261}{5} \)
\( \text{Средняя} = \frac{\text{Сумма окта}}{5} + \frac{10081 - 1261}{5} \)
\( = \text{Старая средняя} + \frac{8780}{5} = \text{Старая средняя} + 1756 \)Медиана, как уже указано, остается той же, если \( Z_3 \) сохраняется на том же уровне.
Таким образом, разница в ноябре:
\( D_{\text{нояб}} = Z_3 - (\text{Старая средняя} + 1756) = D_{\text{окт}} - 1756 \)
Теперь, чтобы ответить на вопрос о том, насколько увеличилась разница между медианой и средней заработной платой в ноябре по сравнению с октябрем, будем считать изменение отрицательным, так как разница уменьшилась на 1756 руб.
Итак, через этот расчет мы видим, что разница между медианой и средней зарплатой уменьшилась, что означает, что ответ на вопрос о том, насколько увеличилась разница, — в ноябре разница уменьшилась на 1756 руб.
