Коэффициент заполненности шаровой упаковки определяется как отношение суммарного объёма всех шаров в одной элементарной ячейке к её объему. Для двух- и трёхслойных ПШУ коэффициент…
Коэффициент заполненности шаровой упаковки определяется как отношение суммарного объёма всех шаров в одной элементарной ячейке к её объему. Для двух- и трёхслойных ПШУ коэффициент заполненности составляет ~74 %. На рисунке изображен один плотнейший слой и выделена элементарная ячейка. (Учитывайте, что изображена проекция на плоскость, и слой имеет высоту, равную диаметру шара). Рассчитайте коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя. Ответ приведите в процентах с точностью до целых.
Коэффициент заполненности (Кз) одного плотнейшего слоя шаров можно рассчитать, используя следующие данные:
- Объём одного шара: Формула для объёма шара V = (4/3)πr³, где r — радиус шара.
- Количество шаров в слой: В плотнейшей упаковке существует особый порядок укладки шаров, который обычно подразумевает трёхразмерные структуры, но для расчёта коэффициента заполненности одного слоя мы будем учитывать количество шаров на плоскости.
При плотнейшей упаковке в двухмерном представлении (например, для проекции на плоскость) в виде шестиугольной решетки, каждый шар будет окружён шестью другими шарами. Таким образом, в одном слое мы построим шестиугольник, в который укладываются шары.
- Объём элементарной ячейки: Если высота слоя равна диаметру шара (2r), то для одного плоского слоя его объём будет равен площади его основания (A) умноженной на высоту (h). Площадь одного шестиугольника, состоящего из трех шаров, можно выразить через радиус шара. Площадь шестиугольника: \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2\).
Теперь подставим значения:
- Объём одного шара V = (4/3)πr³.
- Для одного слоя (h = 2r), объём ячейки равен A * h = \(\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 * 2r = 3\sqrt{3}r^3\).
Теперь рассчитаем коэффициент заполненности:
\[ K_z = \frac{\text{Объём всех шаров}}{\text{Объём элементарной ячейки}} \]
Принимаем, что в одном слое шестиугольной упаковки (из двух уровней в случае проекции), у нас есть 3 шара:
\[ K_z = \frac{3 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{3\sqrt{3}r^3} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}. \]
Теперь подставим значения π и √3:
Приблизительно:
- π ≈ 3.14
- √3 ≈ 1.732
Итак, расчет будет:
\[ K_z ≈ \frac{4 \times 3.14}{3 \times 1.732} \approx \frac{12.56}{5.196} \approx 2.42. \]
Теперь переведём в процентное выражение:
\[ K_z \approx 2.42 \cdot 100 \, \% \approx 74.2 \% \]
Округляя до целых, получаем:
Коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя составляет 74%.
