Шар массой m1=4 кг движется со скоростью u1=5 м/с и сталкивается с шаром массой m2=6 кг, который движется ему на встречу со скоростью u2=2 м/с. Определить скорости u1 и u2 после абсолютно упругого удара.
Для решения этой задачи о столкновении двух шаров воспользуемся законами сохранения импульса и сохранения кинетической энергии, которые действуют при абсолютно упругом столкновении.
Обозначим:
- m1 = 4 кг — масса первого шара,
- u1 = 5 м/с — начальная скорость первого шара,
- m2 = 6 кг — масса второго шара,
- u2 = -2 м/с — начальная скорость второго шара (отрицательное значение, так как шар движется навстречу).
Сначала запишем закон сохранения импульса:
\[ m1 \cdot u1 + m2 \cdot u2 = m1 \cdot v1 + m2 \cdot v2 \]
где v1 и v2 — конечные скорости шаров после удара.
Запишем закон сохранения кинетической энергии:
\[ \frac{1}{2} m1 \cdot u1^2 + \frac{1}{2} m2 \cdot u2^2 = \frac{1}{2} m1 \cdot v1^2 + \frac{1}{2} m2 \cdot v2^2 \]
Упростим эти уравнения и решим их. Сначала подставим известные значения в уравнение импульса:
\[ 4 \cdot 5 + 6 \cdot (-2) = 4 \cdot v1 + 6 \cdot v2 \] \[ 20 - 12 = 4v1 + 6v2 \] \[ 8 = 4v1 + 6v2 \quad (1) \]
Теперь подставим значения в уравнение кинетической энергии:
\[ \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5^2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot v1^2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot v2^2 \] \[ \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot v1^2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot v2^2 \] \[ 50 + 12 = 2v1^2 + 3v2^2 \] \[ 62 = 2v1^2 + 3v2^2 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 4v1 + 6v2 = 8 \)
- \( 2v1^2 + 3v2^2 = 62 \)
Решим первое уравнение для v1:
\[ 4v1 = 8 - 6v2 \] \[ v1 = 2 - \frac{3}{2}v2 \quad (3) \]
Подставим (3) во второе уравнение:
\[ 2(2 - \frac{3}{2}v2)^2 + 3v2^2 = 62 \] Раскроем скобки:
\[ 2(4 - 6v2 + \frac{9}{4}v2^2) + 3v2^2 = 62 \] \[ 8 - 12v2 + \frac{18}{4}v2^2 + 3v2^2 = 62 \] \[ 8 - 12v2 + \frac{30}{4}v2^2 = 62 \] Упрощаем:
\[ -12v2 + \frac{30}{4}v2^2 = 54 \] \[ -12v2 + 7.5v2^2 = 54 \] \[ 7.5v2^2 - 12v2 - 54 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение по формуле:
\[ v2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 7.5, b = -12, c = -54 \).
Теперь подставим эти значения:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 7.5 \cdot (-54) = 144 + 1620 = 1764 \] \[ v2 = \frac{12 \pm \sqrt{1764}}{2 \cdot 7.5} = \frac{12 \pm 42}{15} \]
Теперь найдём два возможных значения для v2:
1. \[ v2 = \frac{54}{15} = 3.6 \text{ м/с} \]
- \[ v2 = \frac{-30}{15} = -2 \text{ м/с (не применимо, так как скорость не может быть отрицательной после столкновения)} \]
Теперь подставим найденное значение v2 в уравнение (3), чтобы найти v1:
\[ v1 = 2 - \frac{3}{2} \cdot 3.6 = 2 - 5.4 = -3.4 \text{ м/с (также не подходит для положительной скорости)} \]
Теперь мы можем констатировать, что:
- После абсолютно упругого удара скорости шаров будут:
- \( v1 \approx -3.4 \text{ м/с} \) (шар 1 движется в другую сторону)
- \( v2 \approx 3.6 \text{ м/с} \) (шар 2, ранее движущийся к шара 1, движется дальше)
Таким образом, после упругого столкновения, шар 1 меняет направление и движется обратным ко второму шару, а шар 2 продолжает движение вперёд.
