3. (17 баллов) В треугольнике две стороны равны 8 и 10. Медианы, проведённые к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.

Чтобы найти третью сторону треугольника, воспользуемся теорией медиан и свойствами треугольника.

Обозначим стороны треугольника как \( a = 8 \), \( b = 10 \) и \( c \) – это сторона, которую нам нужно найти. Медианы к сторонам \( a \) и \( b \) будут обозначены как \( m_a \) и \( m_b \) соответственно.

Формула для медианы, проведенной к стороне \( a \), выглядит так:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

Формула для медианы, проведенной к стороне \( b \):

\[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \]

Так как мы знаем, что медианы \( m_a \) и \( m_b \) перпендикулярны, то можем использовать следующее свойство:

\[ m_a^2 + m_b^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2) \]

Теперь подставим известные значения:

1. Расчитаем \( m_a \):

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(10^2) + 2c^2 - 8^2} = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 2c^2 - 64} = \frac{1}{2} \sqrt{136 + 2c^2} \]

2. Расчитаем \( m_b \):

\[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(8^2) + 2c^2 - 10^2} = \frac{1}{2} \sqrt{128 + 2c^2 - 100} = \frac{1}{2} \sqrt{28 + 2c^2} \]

Теперь можем подставить эти выражения в равенство:

\[ m_a^2 + m_b^2 = \frac{3}{4}(8^2 + 10^2 + c^2) \]

Получаем:

\[ \left( \frac{1}{2} \sqrt{136 + 2c^2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \sqrt{28 + 2c^2} \right)^2 = \frac{3}{4}(64 + 100 + c^2) \]

Упрощая:

\[ \frac{1}{4}(136 + 2c^2) + \frac{1}{4}(28 + 2c^2) = \frac{3}{4}(164 + c^2) \]

Складываем левые части:

\[ \frac{1}{4}(164 + 4c^2) = \frac{3}{4}(164 + c^2) \]

Умножаем обе стороны на 4:

\[ 164 + 4c^2 = 3(164 + c^2) \]

Раскрываем скобки:

\[ 164 + 4c^2 = 492 + 3c^2 \]

Переносим все влево:

\[ 4c^2 - 3c^2 + 164 - 492 = 0 \]

Собираем подобные:

\[ c^2 - 328 = 0 \]

Следовательно,

\[ c^2 = 328 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{328} = 2\sqrt{82} \]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \( 2\sqrt{82} \).