Вагонетка канатной подвесной дороги массой 10т поднимается с ускорением 0,40 м/с2 под углом 30 к горизонту. Определить работу по подъему вагонетки за первые 5 с движения.
Решим задачу шаг за шагом.
Определим массу вагонетки в килограммах. Масса составляет 10 тонн, что равно 10,000 кг.
Найдем силу тяжести. Сила тяжести (мг) определяется по формуле: \[ F_g = m \cdot g \] где \( g \) — ускорение свободного падения, приблизительно равное 9.81 м/с². Таким образом, \[ F_g = 10{,}000 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}² = 98{,}100 \, \text{Н}. \]
Расчитаем результирующую силу. С учетом ускорения вагонетки, нам нужно найти общую силу, действующую на вагонетку. Учитывая угол подъема \( \theta = 30^\circ \), компоненты силы будут такими:
- Вертикальная компонента силы тяжести: \[ F_{g,y} = F_g \cdot \sin(30^\circ) = 98{,}100 \cdot \frac{1}{2} = 49{,}050 \, \text{Н} \]
- Горизонтальная компонента силы тяжести: \[ F_{g,x} = F_g \cdot \cos(30^\circ) = 98{,}100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 84{,}800 \, \text{Н} \]
Чтобы определить результирующую силу, добавим силу, которую создает ускорение: \[ F_a = m \cdot a = 10{,}000 \, \text{кг} \cdot 0{,}40 \, \text{м/с²} = 4{,}000 \, \text{Н}. \] С учетом подъема, результирующая сила будет: \[ F_{\text{total}} = F_{g,y} + F_a = 49{,}050 \, \text{Н} + 4{,}000 \, \text{Н} = 53{,}050 \, \text{Н}. \]
Найдем работу. Работа (A) выполняется в течение времени \( t = 5 \, \text{с} \) и рассчитывается по формуле: \[ A = F_{\text{total}} \cdot s \] где \( s \) — путь, пройденный вагонеткой за время \( t \). Путь можно вычислить по формуле: \[ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 \] Принимаем начальную скорость \( v_0 = 0 \): \[ s = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}40 \cdot (5)^2 = 0{,}5 \cdot 25 = 12{,}5 \, \text{м}. \]
Подставим найденные значения в формулу работы: \[ A = 53{,}050 \, \text{Н} \cdot 12{,}5 \, \text{м} = 663{,}125 \, \text{Дж}. \]
Итак, работа по подъему вагонетки за первые 5 секунд составляет примерно 663,125 Дж.
