найди область определения функции у= √х(2х-6) (х+13)

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x(2x - 6)(x + 13)} \), необходимо учитывать, что под корнем должны быть только неотрицательные числа. То есть, выражение \( x(2x - 6)(x + 13) \) должно быть больше или равно нулю.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \( x \geq 0 \)

   • Это значит, что \( x \) должно быть неотрицательным.

2. \( 2x - 6 \geq 0 \)

   • Решая это неравенство, получаем: \[ 2x \geq 6 \implies x \geq 3. \]

3. \( x + 13 \geq 0 \)

   • Здесь достаточно, чтобы \( x \) было больше или равно -13, но это условие всегда выполняется, если мы учитываем первое и второе условия.

Теперь необходимо определить, когда произведение \( x(2x - 6)(x + 13) \geq 0 \).

Теперь найдем нули функции:

• \( x = 0 \)
• \( 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
• \( x + 13 = 0 \Rightarrow x = -13 \)

Теперь у нас есть критические точки: \( x = -13, 0, 3 \). Построим числовую прямую и определим знак произведения в каждом интервале:

1. Интервал \( (-\infty, -13) \): все множители отрицательные, произведение положительное.
2. Ноль: \( x = -13 \): произведение равно нулю.
3. Интервал \( (-13, 0) \): \( x \) положителен, \( 2x - 6 \) отрицателен, \( x + 13 \) положителен. Произведение отрицательное.
4. Ноль: \( x = 0 \): произведение равно нулю.
5. Интервал \( (0, 3) \): \( x \) положителен, \( 2x - 6 \) отрицателен, \( x + 13 \) положителен. Произведение отрицательное.
6. Ноль: \( x = 3 \): произведение равно нулю.
7. Интервал \( (3, +\infty) \): все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, область определения функции будет включать только те диапазоны, где произведение неотрицательно, то есть: \[ x \in [-13, 0] \cup [3, +\infty). \]

Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{x(2x - 6)(x + 13)} \) – это \( [-13, 0] \cup [3, +\infty) \).