Реши неравенство x 2 − 121 27 − x ≤ 0 27−x x 2 −121 ≤0 методом интервалов и выбери получившиеся промежутки.
Решим неравенство \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \) методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
Для числителя: \( x^2 - 121 = 0 \) \[ x^2 = 121 \implies x = 11 \text{ или } x = -11 \]
Для знаменателя: \( 27 - x = 0 \) \[ x = 27 \]
Определим интервалы, используя найденные критические точки:
Критические точки: \( -11, 11, 27 \). Эти точки разбивают числовую прямую на следующие интервалы:- \( (-\infty, -11) \)
- \( (-11, 11) \)
- \( (11, 27) \)
- \( (27, +\infty) \)
Выберем тестовые точки из каждого интервала и проверим знак функции:
Для интервала \( (-\infty, -11) \): возьмем \( x = -12 \) \[ \frac{(-12)^2 - 121}{27 - (-12)} = \frac{144 - 121}{39} = \frac{23}{39} > 0 \]
Для интервала \( (-11, 11) \): возьмем \( x = 0 \) \[ \frac{0^2 - 121}{27 - 0} = \frac{-121}{27} < 0 \]
Для интервала \( (11, 27) \): возьмем \( x = 20 \) \[ \frac{20^2 - 121}{27 - 20} = \frac{400 - 121}{7} = \frac{279}{7} > 0 \]
Для интервала \( (27, +\infty) \): возьмем \( x = 30 \) \[ \frac{30^2 - 121}{27 - 30} = \frac{900 - 121}{-3} = \frac{779}{-3} < 0 \]
Составим таблицу знаков:
- \( (-\infty, -11) \): \( > 0 \)
- \( (-11, 11) \): \( < 0 \)
- \( (11, 27) \): \( > 0 \)
- \( (27, +\infty) \): \( < 0 \)
Теперь учтем, что нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю:
- Сsign: \( (-11, 11) \) и \( (27, +\infty) \) включаем только точку \( -11 \) (где числитель равен нулю) и точку \( 27 \) (где знаменатель равен нулю, это значение не включается).
Записываем ответ: \[ x \in [-11, 11] \]
Таким образом, решение неравенства \( \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \) в интервале: \([-11, 11]\).
