В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен 20 см. Найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике, в котором один из острых углов равен 30°, можно легко определить другие стороны и углы, используя свойства прямоугольного треугольника.
В данном случае, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен 20 см. Прямоугольный треугольник с углом 30° имеет особенности, которые позволяют применить соотношения тригонометрии. Другой острый угол в треугольнике будет равен 60°, так как сумма всех углов в треугольнике составляет 180°, и один угол – прямой (90°):
\( 90° - 30° = 60° \).
Теперь мы можем вычислить синус и тангенс угла 60°.
Синус 60°: Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к гипотенузе. В треугольнике 30-60-90:
\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Так как противолежащий катет (20 см) и мы хотим найти гипотенузу, используя соотношение для угла 30°:
\[ \sin(30°) = \frac{1}{2} = \frac{20 \text{ см}}{h} \Rightarrow h = 40 \text{ см}. \]
Таким образом, гипотенуза равна 40 см.
Теперь мы можем найти значение синуса 60°:
\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \text{ см}}{40 \text{ см}} \cdot \sqrt{3} = 20 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{20 \text{ см}} = \sqrt{3}/2. \]
- Тангенс 60°: Тангенс острого угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае, прилежащий катет является катетом, который лежит напротив угла 30°. Поскольку в треугольнике 30-60-90, длина прилежащего катета равна половине длины противолежащего, он будет равен 20 см / √3. Следовательно:
\[ \tan(60°) = \frac{20 \text{ см}}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{20} = \sqrt{3}. \]
Таким образом, мы можем подвести итоги:
- Синус угла 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Тангенс угла 60° равен \(\sqrt{3}\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими темами, смело спрашивайте!
