Решите способом сложения систему уравнений: { x 3 −y 3 =28, x 2 y−xy 2 =−12.
Чтобы решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^3 - y^3 = 28 \\ x^2y - xy^2 = -12 \end{cases} \]
начнем с первого уравнения. Уравнение \(x^3 - y^3\) можно записать в виде разности кубов:
\[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]
Таким образом, первое уравнение можно выразить как:
\[ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 28 \]
Теперь перейдем ко второму уравнению. Уравнение \(x^2y - xy^2\) можно переписать, как:
\[ xy(x - y) = -12 \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \((x - y)(x^2 + xy + y^2) = 28\)
- \(xy(x - y) = -12\)
Теперь обозначим \(d = x - y\). Подставим это обозначение в уравнения:
- \(d (x^2 + xy + y^2) = 28 \)
- \(xy d = -12 \)
Теперь выразим \(xy\) из второго уравнения:
\[ xy = \frac{-12}{d} \]
Подставим это значение в первое уравнение. Для начала найдем \(x^2 + xy + y^2\). Мы знаем, что:
\[ x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = d^2 + 2xy \]
Тогда:
\[ x^2 + xy + y^2 = x^2 + y^2 + xy = d^2 + 2xy + xy = d^2 + 3xy \]
Подставляем \(xy\):
\[ x^2 + xy + y^2 = d^2 + 3 \left(\frac{-12}{d}\right) = d^2 - \frac{36}{d} \]
Теперь подставим это в первое уравнение:
\[ d \left(d^2 - \frac{36}{d}\right) = 28 \]
Упростим выражение:
\[ d^3 - 36 = 28 \]
То есть:
\[ d^3 = 64 \]
Следовательно:
\[ d = \sqrt[3]{64} = 4 \]
Теперь мы можем найти \(xy\) с использованием \(d\):
\[ xy = \frac{-12}{d} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Теперь у нас есть \(d = 4\) и \(xy = -3\). Для дальнейших вычислений, используя \(x\) и \(y\), запишем:
\[ x - y = 4, \quad xy = -3 \]
Решим это как систему. Используя \((x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy\), найдем \(x + y\):
Обозначим \(s = x + y\). Тогда:
\[ 4^2 = s^2 - 4(-3) \]
Это равенство можно упростить:
\[ 16 = s^2 + 12 \implies s^2 = 4 \implies s = 2 \text{ или } s = -2 \]
Теперь у нас есть две системы:
- \(x + y = 2\) и \(x - y = 4\)
- \(x + y = -2\) и \(x - y = 4\)
Решим первую систему:
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} \]
Сложив уравнения, получим:
\[ 2x = 6 \implies x = 3 \]
Теперь подставим значение \(x\) в одно из уравнений:
\[ 3 + y = 2 \implies y = -1 \]
Теперь решим вторую систему:
\[ \begin{cases} x + y = -2 \\ x - y = 4 \end{cases} \]
Сложив уравнения, получим:
\[ 2x = 2 \implies x = 1 \]
Подставим это в одно из уравнений:
\[ 1 + y = -2 \implies y = -3 \]
Теперь у нас есть два решения для системы:
- \((x, y) = (3, -1)\)
- \((x, y) = (1, -3)\)
Таким образом, решения системы уравнений:
\[ (x, y) = (3, -1) \quad \text{или} \quad (1, -3). \]
