Докажите, что для любых чисел х и у верно неравенство: a) x ^ 2 + y ^ 2 - 8x + 4y + 20 >= 0 6) x ^ 2 + y ^ 2 + 12x - 6y + 45 >= 0 в) x ^ 2 + y ^ 2 - 6x + 10y + 34 >= 0 г) x ^ 2 + y ^ 2 + 10x - 10y + 50 >= 0

Давайте подробно рассмотрим каждое из неравенств и докажем, что они выполняются для любых значений \( x \) и \( y \).

a) \( x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 \geq 0 \)

Для упрощения неравенства, мы можем использовать технику выделения полного квадрата.

1. Реорганизуем выражение: \[ = (x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 20 \]

2. Выделим полный квадрат для \( x \) и \( y \): \[ = (x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 20 \] \[ = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 0 \]

3. Так как сумма квадратов не может быть отрицательной, то: \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 \geq 0 \] Таким образом, неравенство выполняется.

б) \( x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 \geq 0 \)

Снова выделим полный квадрат:

1. Реорганизуем: \[ = (x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + 45 \]

2. Выделим полный квадрат: \[ = (x + 6)^2 - 36 + (y - 3)^2 - 9 + 45 \] \[ = (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + 0 \]

3. Как прежде, сумма квадратов является неотрицательной: \[ (x + 6)^2 + (y - 3)^2 \geq 0 \]

в) \( x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 \geq 0 \)

Выделим полный квадрат:

1. Реорганизуем: \[ = (x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 34 \]

2. Выделим квадрат: \[ = (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 34 \] \[ = (x - 3)^2 + (y + 5)^2 + 0 \]

3. Сумма квадратов: \[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 \geq 0 \]

г) \( x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 \geq 0 \)

1. Реорганизуем: \[ = (x^2 + 10x) + (y^2 - 10y) + 50 \]

2. Выделим квадрат: \[ = (x + 5)^2 - 25 + (y - 5)^2 - 25 + 50 \] \[ = (x + 5)^2 + (y - 5)^2 + 0 \]

3. Сумма квадратов: \[ (x + 5)^2 + (y - 5)^2 \geq 0 \]

Во всех случаях мы пришли к тому, что выражения в каждой из неравенств могут быть представлены в виде суммы квадратов, что и доказывает их неотрицательность для любых значений \( x \) и \( y \). Таким образом, все неравенства верны.