Найди дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами. Знаменатель дроби на 9 больше числителя. Если из числителя вычесть 4, а к знаменателю прибавить 7, то дробь уменьшится на 1/7

Question 1

Задача Задача №2320283

А

Аноним

23 ноября 2024 16:11 · публичный вопрос

А

Аноним 23 ноября 2024 16:11

Найди дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами. Знаменатель дроби на 9 больше числителя. Если из числителя вычесть 4, а к знаменателю прибавить 7, то дробь уменьшится на 1/7

Answer

Для решения этой задачи обозначим числитель дроби как \( x \), а знаменатель дроби как \( y \). Из условия известно, что знаменатель на 9 больше числителя, то есть

\[ y = x + 9. \]

Также по условию, если из числителя вычесть 4, а к знаменателю прибавить 7, дробь уменьшится на \( \frac{1}{7} \). Это можно записать с помощью уравнения:

\[ \frac{x - 4}{y + 7} = \frac{x}{y} - \frac{1}{7}. \]

Теперь подставим выражение \( y = x + 9 \) в это уравнение:

\[ \frac{x - 4}{(x + 9) + 7} = \frac{x}{(x + 9)} - \frac{1}{7. \]

Упростим знаменатель с левой стороны:

\[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7}. \]

Теперь упростим правую часть уравнения. Приведем дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7} = \frac{7x - (x + 9)}{7(x + 9)} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)}. \]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)}. \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 7(x + 9)(x + 16) \) для устранения знаменателей:

\[ 7(x - 4)(x + 9) = (6x - 9)(x + 16). \]

Раскроем обе стороны:

\[ 7(x^2 + 5x - 36) = 6x^2 + 96x - 9x - 144. \]

Упрощая, получаем:

\[ 7x^2 + 35x - 252 = 6x^2 + 87x - 144. \]

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

\[ 7x^2 - 6x^2 + 35x - 87x - 252 + 144 = 0. \]

Преобразуем:

\[ x^2 - 52x - 108 = 0. \]

Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):

\[ x = \frac{52 \pm \sqrt{(-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1} = \frac{52 \pm \sqrt{2704 + 432}}{2} = \frac{52 \pm \sqrt{3136}}{2} = \frac{52 \pm 56}{2}. \]

Находим корни:

\( x = \frac{108}{2} = 54 \),
\( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (пренебрегаем, так как \( x \) должен быть натуральным числом).

Теперь, подставив \( x = 54 \), найдем \( y \):

\[ y = x + 9 = 54 + 9 = 63. \]

Таким образом, дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами, равна \( \frac{54}{63} \).

Question 2

Найди дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами. Знаменатель дроби на 9 больше числителя. Если из числителя вычесть 4, а к знаменателю прибавить 7, то дробь уменьшится на 1/7

Answer

Для решения этой задачи обозначим числитель дроби как \( x \), а знаменатель дроби как \( y \). Из условия известно, что знаменатель на 9 больше числителя, то есть \[ y = x + 9. \] Также по условию, если из числителя вычесть 4, а к знаменателю прибавить 7, дробь уменьшится на \( \frac{1}{7} \). Это можно записать с помощью уравнения: \[ \frac{x - 4}{y + 7} = \frac{x}{y} - \frac{1}{7}. \] Теперь подставим выражение \( y = x + 9 \) в это уравнение: \[ \frac{x - 4}{(x + 9) + 7} = \frac{x}{(x + 9)} - \frac{1}{7. \] Упростим знаменатель с левой стороны: \[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7}. \] Теперь упростим правую часть уравнения. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x + 9} - \frac{1}{7} = \frac{7x - (x + 9)}{7(x + 9)} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)}. \] Теперь у нас есть следующее уравнение: \[ \frac{x - 4}{x + 16} = \frac{6x - 9}{7(x + 9)}. \] Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 7(x + 9)(x + 16) \) для устранения знаменателей: \[ 7(x - 4)(x + 9) = (6x - 9)(x + 16). \] Раскроем обе стороны: \[ 7(x^2 + 5x - 36) = 6x^2 + 96x - 9x - 144. \] Упрощая, получаем: \[ 7x^2 + 35x - 252 = 6x^2 + 87x - 144. \] Теперь приведем все к одной стороне уравнения: \[ 7x^2 - 6x^2 + 35x - 87x - 252 + 144 = 0. \] Преобразуем: \[ x^2 - 52x - 108 = 0. \] Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{52 \pm \sqrt{(-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1} = \frac{52 \pm \sqrt{2704 + 432}}{2} = \frac{52 \pm \sqrt{3136}}{2} = \frac{52 \pm 56}{2}. \] Находим корни: 1. \( x = \frac{108}{2} = 54 \), 2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (пренебрегаем, так как \( x \) должен быть натуральным числом). Теперь, подставив \( x = 54 \), найдем \( y \): \[ y = x + 9 = 54 + 9 = 63. \] Таким образом, дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами, равна \( \frac{54}{63} \).