Из лаборатории в которой работают 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его…

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с условиями:

В лаборатории работают 20 человек, из которых 3 ключевых сотрудника не могут ехать в командировку одновременно: начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер. Наше задание - определить, сколько различных составов группы из 5 сотрудников може быть сформировано, учитывая это ограничение.

1. Общее количество сотрудников: 20
2. Количество сотрудников, которые не могут уехать одновременно: 3 (начальник, заместитель, главный инженер)

Для начала, найдем общее количество сотрудников, которые могут уехать, если группа не включает всех троих:

• Сначала рассмотрим случаи, когда никто из них не едет.
• Затем случаи, когда едет 1 или 2 из них.

Случай 1: Никто из них не едет

В этом случае у нас есть 17 человек (20 - 3), из которых нам нужно выбрать 5:

\[ C(17, 5) = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5! \cdot 12!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6188 \]

Случай 2: Один из них едет

Мы можем выбрать одного из троих и еще 4 сотрудника из оставшихся 17:

\[ C(3, 1) \times C(17, 4) = 3 \times \frac{17!}{4!(17-4)!} = 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3 \times 2380 = 7140 \]

Случай 3: Два из них едут

Теперь мы выбираем 2 из этих 3 и 3 из 17:

\[ C(3, 2) \times C(17, 3) = 3 \times \frac{17!}{3!(17-3)!} = 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 680 = 2040 \]

Подсчет общей суммы

Теперь сложим все полученные варианты:

\[ 6188 + 7140 + 2040 = 15368 \]

Таким образом, общее количество различных составов группы из 5 сотрудников, учитывая ограничения, составляет 15368.