найдите остаток от деления : 4^2015 на 3 ; 6^2015 на 7
Чтобы найти остаток от деления \(4^{2015}\) на \(3\) и \(6^{2015}\) на \(7\), можно использовать свойства модульной арифметики и теорему Ферма.
- Поиск остатка от \(4^{2015}\) на \(3\):
Обратим внимание, что \(4 \equiv 1 \mod 3\). Это значит, что любые степени числа \(4\) будут тоже равны \(1\) по модулю \(3\).
Таким образом: \[ 4^{2015} \equiv 1^{2015} \equiv 1 \mod 3 \] Остаток от деления \(4^{2015}\) на \(3\) равен \(1\).
- Поиск остатка от \(6^{2015}\) на \(7\):
Здесь мы можем воспользоваться теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) — простое число и \(a\) — целое число, не кратное \(p\), то: \[ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \] В нашем случае, \(p = 7\) и \(a = 6\), следовательно: \[ 6^6 \equiv 1 \mod 7 \] Теперь, чтобы вычислить \(6^{2015} \mod 7\), найдем остаток от деления \(2015\) на \(6\): \[ 2015 \div 6 = 335 \quad (остаток\ 5) \] Таким образом: \[ 2015 \equiv 5 \mod 6 \] Следовательно: \[ 6^{2015} \equiv 6^5 \mod 7 \]
Теперь вычислим \(6^5\) по модулю \(7\): \[ 6^1 \equiv 6 \mod 7 \] \[ 6^2 \equiv 6 \times 6 = 36 \equiv 1 \mod 7 \] \[ 6^3 \equiv 6 \times 1 = 6 \mod 7 \] \[ 6^4 \equiv 1 \mod 7 \] \[ 6^5 \equiv 6 \mod 7 \]
Таким образом, остаток от деления \(6^{2015}\) на \(7\) равен \(6\).
Итак, ответы:
- Остаток от \(4^{2015}\) на \(3\) равен \(1\).
- Остаток от \(6^{2015}\) на \(7\) равен \(6\).
