Задача Задача №2321481
А
А
докажите, что n^5-n делится на 30 при любом целом n
Давайте докажем, что выражение \( n^5 - n \) делится на 30 при любом целом \( n \). Для этого сначала разложим 30 на множители: \[ 30 = 2 \times 3 \times 5. \] Мы будем проверять делимость \( n^5 - n \) на 2, 3 и 5.
Делимость на 2: Поскольку \( n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) \), то посчитаем возможные случаи для \( n \):
- Если \( n \) четное, то \( n \) делится на 2.
- Если \( n \) нечетное, то \( n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) \) — это произведение двух четных чисел, так как \( n - 1 \) и \( n + 1 \) — два последовательных четных числа.
В любом случае, \( n^5 - n \) делится на 2.
Делимость на 3: Рассмотрим \( n \mod 3 \):
- Если \( n \equiv 0 \mod 3 \), то \( n^5 - n \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 3 \).
- Если \( n \equiv 1 \mod 3 \), то \( n^5 - n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \).
- Если \( n \equiv 2 \mod 3 \), то \( n^5 - n \equiv 2^5 - 2 \equiv 32 - 2 \equiv 30 \equiv 0 \mod 3 \).
Таким образом, \( n^5 - n \) делится на 3.
Делимость на 5: Рассмотрим \( n \mod 5 \):
- Если \( n \equiv 0 \mod 5 \), то \( n^5 - n \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 5 \).
- Если \( n \equiv 1 \mod 5 \), то \( n^5 - n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5 \).
- Если \( n \equiv 2 \mod 5 \), то \( n^5 - n \equiv 2^5 - 2 \equiv 32 - 2 \equiv 30 \equiv 0 \mod 5 \).
- Если \( n \equiv 3 \mod 5 \), то \( n^5 - n \equiv 3^5 - 3 \equiv 243 - 3 \equiv 240 \equiv 0 \mod 5 \).
- Если \( n \equiv 4 \mod 5 \), то \( n^5 - n \equiv 4^5 - 4 \equiv 1024 - 4 \equiv 1020 \equiv 0 \mod 5 \).
Следовательно, \( n^5 - n \) также делится на 5.
Теперь, поскольку мы доказали, что \( n^5 - n \) делится на 2, 3 и 5, мы можем заключить, что \( n^5 - n \) делится на \( 30 \) при любом целом \( n \).
