x^3+5x^2-9x-45=0
Чтобы решить уравнение \(x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0\), можно использовать метод подбора возможных рациональных корней или графический метод. Начнем с подбора.
Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни уравнения могут быть делителями свободного члена (-45) и старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни могут быть: \(\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45\).
Попробуем подставить эти значения один за другим, чтобы найти корень.
- Подставим \(x = 3\): \[ 3^3 + 5 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 45 = 27 + 45 - 27 - 45 = 0 \] Значит, \(x = 3\) является корнем уравнения.
Теперь мы можем разделить исходное уравнение на \((x - 3)\) с использованием деления многочленов или синтетического деления.
Выполнив деление, мы получим:
\[ x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = (x - 3)(x^2 + 8x + 15) \]
Теперь нужно решить квадратное уравнение \(x^2 + 8x + 15 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = 15\).
Подставляем значения: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 2}{2} \]
Теперь у нас есть два возможных решения:
- \(x = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
- \(x = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
Таким образом, у нас есть 3 корня уравнения: \[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = -5 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какие-то моменты, буду рад помочь!
